2007-陕西卷文-18 解-独立事件概率计算

本题导读

本题考查相互独立事件。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 $\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5}$，且各轮问题能否正确回答互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．

🔍【思路分析】

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1. 设 $E_i$ 表示能正确回答第 $i$ 轮问题，各 $E_i$ 相互独立。 2.（1）进入第四轮才被淘汰 $=$ 前三轮对且第四轮错，概率相乘。 3.（2）至多进入第三轮 $=$ 前三轮不全对，用对立事件。

✅【答案】

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（1）$\frac{96}{625}$；（2）$\frac{101}{125}$

✍【详细解析】

Abstract

设事件 $E_i$ 表示该选手能正确回答第 $i$ 轮的问题，则 $P(E_1)=\frac{4}{5},P(E_2)=\frac{3}{5},P(E_3)=\frac{2}{5},P(E_4)=\frac{1}{5}$，且各 $E_i$ 相互独立． （1）进入第四轮才被淘汰，表示前三轮均回答正确而第四轮回答错误，概率为 $P(E_1{E}_2{E}_3{\bar{E}}_4)=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{96}{625}$． （2）进入第四轮的必要条件是前三轮均回答正确，故“至多进入第三轮”是事件 $E_1{E}_2{E}_3$ 的对立事件，其概率为 $1-P(E_1{E}_2{E}_3)=1-\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}=1-\frac{24}{125}=\frac{101}{125}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立事件概率计算

核心方法：设 $E_i$ 为第 $i$ 轮答对，独立相乘；（1）前三对第四错 $\frac{4}{5}\frac{3}{5}\frac{2}{5}(1-\frac{1}{5})$；（2）用对立事件

避坑指南：（1）是”前三轮对且第四轮错”，第四轮错用 $1-\frac{1}{5}$；（2）“至多进第三轮”即”前三轮不全对”，取对立事件最简

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于相互独立事件的概率，教材”事件的相互独立性”典型题

结论推广：一般化：$n$ 个相互独立事件同时发生的概率等于各自概率的乘积；“至多/至少”优先用对立事件

方法推广：独立事件概率相乘，对立事件求”至多”；淘汰类问题逐轮分析”过没过”

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

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