2008-陕西卷文-18 解-不放回摸球概率

本题导读

(1)$\frac{3}{9}\times \frac{4}{8}=\frac{1}{6}$；(2)$1-\frac{7}{9}\times \frac{6}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{7}{12}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 一个口袋中装有大小相同的 $2$ 个红球，$3$ 个黑球和 $4$ 个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．

(1)连续摸球 $2$ 次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；

(2)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过 $3$ 次的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

(1)不放回抽取分母逐次递减：$9\to 8$. (2)“不超过 $3$ 次”的对立事件是”前三次都没有摸到红球”，红球只有 $2$ 个，前三次全从其余 $7$ 个球中摸出，补集一步到位.

✅【答案】

点击查看答案

(1)$\frac{1}{6}$；　(2)$\frac{7}{12}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)口袋中共有 $9$ 个球．第一次摸出黑球的概率为 $\frac{3}{9}$；在第一次摸出黑球的条件下，第二次从剩下 $8$ 个球（含 $4$ 个白球）中摸出白球的概率为 $\frac{4}{8}$．所以所求概率为 $\frac{3}{9}\times \frac{4}{8}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$. (2)法一（对立事件）：摸球次数超过 $3$ 次，等价于前三次都没有摸到红球，其概率为 $\frac{7}{9}\times \frac{6}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{5}{12}$．故摸球次数不超过 $3$ 次的概率为 $1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$. 法二（分类）：第一次摸到红球的概率为 $\frac{2}{9}$；第一次未摸到红球且第二次摸到红球的概率为 $\frac{7}{9}\times \frac{2}{8}$；前两次均未摸到红球且第三次摸到红球的概率为 $\frac{7}{9}\times \frac{6}{8}\times \frac{2}{7}$．这些事件互不相容，故所求概率为 \dfrac{2}{9}+\dfrac{7}{9}\times\dfrac{2}{8}+\dfrac{7}{9}\times\dfrac{6}{8}\times\dfrac{2}{7}$$=\dfrac{112+98+84}{504}=\dfrac{294}{504}=\dfrac{7}{12}.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不放回抽取的概率计算

核心方法：逐次条件概率相乘；“不超过 $3$ 次”用对立事件 $1-P(\text{前三次无红})$ 最简

避坑指南：不放回抽取分母逐次递减（$9\to 8\to 7$），别三次都用 $9$；正面分类的三条支路互斥，算完可用对立事件复核

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材概率章节古典概型与互斥事件

结论推广：“至少、不超过”类概率优先对立事件：$P(\text{不超过 }k\text{ 次})=1-P(\text{前 }k\text{ 次都不中})$

方法推广：抽取类概率两条路：按次序条件概率相乘，或组合数之比；逐次相乘时每步样本空间同步缩小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-18
• 2006-陕西卷理-18 解-二项分布的数学期望
• 2015-陕西卷理-19 解-分布列