2007-陕西卷文-22 解-椭圆离心率与面积最值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴一个端点到右焦点的距离为 $\sqrt{3}$． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $△AOB$ 面积的最大值．

🔍【思路分析】

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1.（1）设半焦距 $c$，由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 得 $c^2=\frac{2}{3}{a}^2$，故 $b^2=a^2-c^2=\frac{1}{3}{a}^2$。 2. 短轴端点 $(0,b)$ 到右焦点 $(c,0)$ 的距离 $\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{a^2}=a=\sqrt{3}$。 3. 得 $a=\sqrt{3},b=1$。 4.（2）设直线单位法向量，用弦长公式结合 $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求面积最大值。

✅【答案】

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（1）$\frac{x^2}{3}+y^2=1$；（2）$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，且由离心率 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 得 $c^2=\frac{2}{3}{a}^2$，从而 $b^2=a^2-c^2=\frac{1}{3}{a}^2$． 取短轴端点 $(0,b)$ 和右焦点 $(c,0)$，由题意 $c^2+b^2=3$，即 $a^2=3$，故 $a=\sqrt{3},b=1$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$． （2）设直线 $l$ 的单位法向量为 $\vec{n}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，记 $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $l$ 可表示为 $x\cos \theta +y\sin \theta =d$． 取直线的单位方向向量 $\vec{v}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$，直线上任一点可写为 $(x,y)=d\vec{n}+t\vec{v}$．代入椭圆方程得关于 $t$ 的二次方程，其判别式可化简，得弦长 $|AB|=\frac{\sqrt{4K-1}}{K}$，其中 $K=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\cos }^2\theta \in \left[\frac{1}{3},1\right]$． 三角形 $AOB$ 的高为原点到直线 $l$ 的距离 $d$，故 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}d|AB|$，其最大值在 $K=\frac{1}{2}$（即 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{4}$）时取得，此时 $|AB|=2$， $S_{\max }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率与面积最值

核心方法：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 得 $c^2=\frac{2}{3}{a}^2,b^2=\frac{1}{3}{a}^2$；$c^2+b^2=a^2=3$ 得 $a=\sqrt{3},b=1$；面积 $=\frac{1}{2}|AB|d$

避坑指南：短轴端点到右焦点距离 $\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{a^2}=a$，即 $a=\sqrt{3}$；面积最值在弦长 $|AB|=2$ 时取，$S_{\max }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆的标准方程与弦长、面积最值，教材”椭圆”综合题

结论推广：一般化：离心率 $e=\frac{c}{a}$ 与 $a^2=b^2+c^2$ 联立定 $a,b$；定点到定直线距离 $d$ 固定时，面积随弦长最大

方法推广：短轴端点到焦点距离 $=a$ 是椭圆基本性质；面积最值转化为弦长最值，结合判别式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆
• 2014-陕西卷文-20 解-椭圆与圆弦长
• 2009-陕西卷文-22 解-双曲线定比面积