2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆

本题导读

本题考查轨迹方程的求法。核心在于直接法、中点坐标关系的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 已知动点 $M(x,y)$ 到直线 $l:x=4$ 的距离是它到点 $N(1,0)$ 的距离的 $2$ 倍.

(1)求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)过点 $P(0,3)$ 的直线 $m$ 与轨迹 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $A$ 是 $PB$ 的中点，求直线 $m$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $\sqrt{(x-4{)}^2}=2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$ → $(x-4{)}^2=4[(x-1{)}^2+y^2]$ → $3x^2+4y^2=12$ → $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
2. $(2)$ 设 $A(x_1,y_1)$，由中点条件 $B(2x_1,2y_1-3)$；$A$、$B$ 均在 $C$ 上： $\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$ 与 $\frac{4x_1^2}{4}+\frac{(2y_1-3{)}^2}{3}=1$ → 相减化简得 $y_1=\frac{3}{2}$，$x_1=\pm 1$。
3. $k=\frac{y_1-3}{x_1}=\frac{-3/2}{\pm 1}=\mp \frac{3}{2}$，即 $k=\pm \frac{3}{2}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；(2)$\pm \frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 点 $M(x,y)$ 到直线 $l:x=4$ 的距离为 $|x-4|$，到点 $N(1,0)$ 的距离为 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$。由题意 $|x-4|=2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}.$ 两边平方： $(x-4{)}^2=4\left[(x-1{)}^2+y^2\right],$ 展开整理：$x^2-8x+16=4x^2-8x+4+4y^2$，即 $3x^2+4y^2=12$，故 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$ 轨迹 $C$ 是椭圆，方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。 （2） 设 $A(x_1,y_1)$。因为 $A$ 是线段 $PB$ 的中点，$P(0,3)$，故 $B\left(2x_1,2y_1-3\right).$ 由 $A$、$B$ 都在椭圆 $C$ 上，得 \frac{x_{1}^{2}}{4}+\frac{y_{1}^{2}}{3}=1,\tag{1} \frac{(2x_{1})^{2}}{4}+\frac{(2y_{1}-3)^{2}}{3}=1,\quad\text{即}\quad x_{1}^{2}+\frac{(2y_{1}-3)^{2}}{3}=1.\tag{2} $(2)-(1)$： $\left(x_1^2-\frac{x_1^2}{4}\right)+\frac{(2y_1-3{)}^2-y_1^2}{3}=0,$ 即 $\frac{3}{4}{x}_1^2+\frac{3y_1^2-12y_1+9}{3}=0\Rightarrow \frac{3}{4}{x}_1^2+y_1^2-4y_1+3=0.$ 由 $(1)$ 得 $x_1^2=4-\frac{4}{3}{y}_1^2$，代入上式： $\frac{3}{4}\left(4-\frac{4}{3}{y}_1^2\right)+y_1^2-4y_1+3=0\Rightarrow 3-y_1^2+y_1^2-4y_1+3=0\Rightarrow y_1=\frac{3}{2}.$ 代回 $(1)$：$\frac{x_1^2}{4}+\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{4}=1$，得 $x_1^2=1$，故 $x_1=\pm 1$。 所以 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 或 $A\left(-1,\frac{3}{2}\right)$。 直线 $m$ 过 $P(0,3)$ 与 $A$，斜率 $k=\frac{y_1-3}{x_1-0}=\frac{-\frac{3}{2}}{\pm 1}=\mp \frac{3}{2},$ 即 $k=\frac{3}{2}$ 或 $k=-\frac{3}{2}$。 验证：当 $k=-\frac{3}{2}$ 时直线为 $y=-\frac{3}{2}x+3$，此时 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$、$B(2,0)$，而 $\frac{2^2}{4}+\frac{0^2}{3}=1$，$B$ 确在椭圆上；当 $k=\frac{3}{2}$ 时 $A\left(-1,\frac{3}{2}\right)$、$B(-2,0)$，同样满足。 故直线 $m$ 的斜率为 $\pm \frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：轨迹方程（距离关系）与直线与椭圆的位置关系

核心方法：$(1)$ $|x-4|=2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$ → 平方整理 $3x^2+4y^2=12$ → $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；$(2)$ $A$ 是 $PB$ 中点，设 $A(x_1,y_1)$ 在 $C$ 上，则 $B(2x_1,2y_1-3)$ 也在 $C$ 上 → $y_1=\frac{3}{2}$，$x_1=\pm 1$ → $k_m=\frac{y_1-3}{x_1-0}=\mp \frac{3}{2}$

避坑指南：$(1)$ 轨迹题按条件直接列式平方（注意 $x=4$ 是竖直直线，距离是 $|x-4|$），化标准方程时两边除以 $12$；$(2)$ 用中点坐标关系把 $B$ 用 $A$ 表示，令 $A$、$B$ 都在椭圆上得到方程组——两条方程相减可迅速消去高次项；最后斜率 $k=\frac{y_1-3}{x_1}$（直线过 $P(0,3)$），$x_1$ 有两个值故斜率两解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹方程的求法（距离条件）与直线与椭圆的位置关系。

结论推广：直接法求轨迹；中点坐标关系；直线斜率公式。

方法推广：列距离等式平方 → 化简得椭圆 → 中点关系定 $A$、$B$ → 联立解出两点 → 求斜率两值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比
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