2007-陕西卷理-07 单-直线圆位置关系

本题导读

本题考查双曲线的几何性质及直线与圆的位置关系。核心在于将圆与渐近线相切的几何条件转化为点到直线的距离公式进行代数求解。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，以 $C$ 的右焦点为圆心且与 $C$ 的渐近线相切的圆的半径是()

A. $\sqrt{ab}$　　　　　　B. $\sqrt{a^2+b^2}$　　　　　　C. $a$　　　　　　D. $b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定关键元素：由双曲线方程写出右焦点坐标 $F(c,0)$ 及渐近线方程 $bx-ay=0$。

2. 几何关系转化：利用圆与直线相切时半径等于圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式化简求值。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程可知，其右焦点为 $F(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$． 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$． 因为圆以右焦点 $F(c,0)$ 为圆心且与渐近线相切， 所以圆的半径 $r$ 等于点 $F$ 到渐近线 $bx-ay=0$ 的距离： $r=\frac{|b\cdot c-a\cdot 0|}{\sqrt{b^2+(-a{)}^2}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 将 $c=\sqrt{a^2+b^2}$ 代入分母得： $r=\frac{bc}{c}=b$ 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦距与渐近线方程的关系，点到直线距离公式的运用。

2. 核心方法：数形结合与距离公式化简法。

3. 避坑指南：双曲线有两条渐近线，由于图形关于坐标轴对称，焦点到两条渐近线的距离完全相等，任选一条计算即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中双曲线渐近线几何意义的拓展性质，是解析几何中极具代表性的经典结论题。

5. 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点到渐近线的距离恒等于虚半轴长 $b$；焦点在渐近线上的射影点到原点的距离恒等于实半轴长 $a$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积