2007-陕西卷理-15 填-向量数量积运算

本题导读

本题以平面内三向量的几何分布为背景，考查平面向量的基底分解与代数运算。通过识别向量间的垂直几何特征构建等量方程，或者直接建立空间直角坐标系将向量代数化求解。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 如图，平面内有三个向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$，其中 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $30^{\circ }$，且 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1,|\overrightarrow{OC}|=2\sqrt{3}$．若 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}(\lambda ,\mu \in \mathbf{R})$，则 $\lambda +\mu$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析几何角：由图知 $\angle AOB=120^{\circ },\angle AOC=30^{\circ }$，可得 $\angle BOC=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$，即 $\overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC}$．

2. 建立方程：利用垂直向量数量积为 0，将已知分解式分别两边与 $\overrightarrow{OB}$ 和 $\overrightarrow{OA}$ 作数量积，建立关于 $\lambda ,\mu$ 的二元一次方程组联立求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

因 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 夹角为 $120^{\circ }$，$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 夹角为 $30^{\circ }$，结合题图空间分布可知， $\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$，即 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=0$． 已知 $|\overrightarrow{OA}|=1,|\overrightarrow{OB}|=1,|\overrightarrow{OC}|=2\sqrt{3}$，则： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=1\times 1\times \cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=1\times 2\sqrt{3}\times \cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$ 在等式 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$ 两边同时点乘 $\overrightarrow{OB}$ 得： $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB}=\lambda (\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB})+\mu |\overrightarrow{OB}{|}^2⟹0=-\frac{1}{2}\lambda +\mu ⟹\lambda =2\mu$ ① 在等式两边同时点乘 $\overrightarrow{OA}$ 得： $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=\lambda |\overrightarrow{OA}{|}^2+\mu (\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA})⟹3=\lambda -\frac{1}{2}\mu$ ② 将①代入②得：$2\mu -\frac{1}{2}\mu =3⟹\frac{3}{2}\mu =3⟹\mu =2$． 代入①得 $\lambda =4$． 所以 $\lambda +\mu =4+2=6$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量基本定理（基底分解），向量数量积的代数运算法则，向量垂直的充要条件。

2. 核心方法：两边同乘特定向量的“消项数量积法”（或建系坐标化法）。

3. 避坑指南：通过图示准确判断 $\angle BOC=90^{\circ }$ 是最快破局点，切勿误用两角和差公式进行复杂的三角函数大运算量推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于平面向量基本定理中“用两不共线基底向量表示任一向量”的经典几何模型，通过引入特殊夹角深化了向量的代数运算度。

5. 结论推广：若 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$ 且 $\overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{OC}$，则满足系数比 $\frac{\lambda }{\mu }=-\frac{|\overrightarrow{OB}{|}^2}{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}$ 恒成立，此结论可在解析几何及向量填空压轴题中直接作为二级结论进行秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项