2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及其应用。通过求出展开式的通用项，利用待定系数法确定特定项的次数，从而计算出系数。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） $(\frac{x}{\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}}{)}^8$ 的展开式中 $x^2{y}^2$ 的系数为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。注意符号和根式的幂指数变形。

2. 整理幂指数：将通项中的 $x$ 和 $y$ 全部化为底数形式，整理出 $x$ 和 $y$ 的综合幂指数。

3. 建立方程：令 $x$ 的指数为 $2$（或 $y$ 的指数为 $2$），求出 $r$ 的值。

4. 计算系数：将 $r$ 代入系数部分进行数值计算。

✅【答案】

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$70$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出二项式展开的通项公式

原式可看作 $[x\cdot y^{-\frac{1}{2}}+(-y\cdot x^{-\frac{1}{2}}){]}^8$。

通项公式为：

$T_{r+1}=C_8^r(x\cdot y^{-\frac{1}{2}}{)}^{8-r}(-y\cdot x^{-\frac{1}{2}}{)}^r$

$T_{r+1}=C_8^r(-1{)}^r\cdot x^{8-r}\cdot y^{-\frac{8-r}{2}}\cdot y^r\cdot x^{-\frac{r}{2}}$

第二步：整理 $x$ 与 $y$ 的指数

合并同底数幂：

$T_{r+1}=C_8^r(-1{)}^r\cdot x^{8-r-\frac{r}{2}}\cdot y^{r-\frac{8-r}{2}}$

$T_{r+1}=C_8^r(-1{)}^r\cdot x^{8-\frac{3r}{2}}\cdot y^{\frac{3r}{2}-4}$

第三步：确定 $r$ 的值

要求 $x^2{y}^2$ 的系数，令 $x$ 的指数为 $2$：

$8-\frac{3r}{2}=2⟹\frac{3r}{2}=6⟹r=4$

此时验证 $y$ 的指数：$\frac{3\times 4}{2}-4=6-4=2$，符合题意。

第四步：计算系数

将 $r=4$ 代入系数部分：

$\text{系数}=C_8^4\cdot (-1{)}^4=C_8^4\cdot 1$

$C_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$

最终答案： $70$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：通项公式 $T_{r+1}$ 的准确记忆。

2. 核心方法：将根式化为分数指数幂（如 $\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}$）是处理此类题目的关键技巧。

3. 避坑指南：二项式中带负号时，建议将 $(-1{)}^r$ 提取出来单独计算，避免在合并指数时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式系数的性质、赋值法求各项系数之和。

2. 结论推广: 若求常数项，则令 $x,y$ 的指数之和或各自指数为 $0$。

3. 方法推广: 面对三项式的展开，可先将其中的两项看作一个整体。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-05 单-二项展开式的通项
• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项