2007-陕西卷理-22 解-二项式定理组合数求

本题导读

本题作为全卷压轴题，考查数列递推关系与二项式定理的综合应用。第一问利用 $S_k$ 与 $a_k$ 的关系，通过分奇偶项讨论求出通项；第二问利用累乘法得到 $b_k$ 的显式表达，并将其转化为组合数形式，最终借助二项式定理完成求和。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 已知各项全不为零的数列 $\{a_k\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_k$，且 $S_k=\frac{1}{2}{a}_k{a}_{k+1}$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，其中 $a_1=1$．

(1) 求数列 $\{a_k\}$ 的通项公式；

(2) 对任意给定的正整数 $n$ ($n\ge 2$)，数列 $\{b_k\}$ 满足 $\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{k-n}{a_{k+1}}$ ($k=1,2,\cdots ,n-1$)，$b_1=1$．求 $b_1+b_2+\cdots +b_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用 $S_k-S_{k-1}=a_k$ 消去 $S_k$，得到相邻项的递推式，分别对奇数项和偶数项进行等差数列归纳。

2. 第二问：将第一问求得的 $a_{k+1}$ 代入，利用累乘法写出 $b_k$ 的通项，将其重组变形为组合数形式，再利用二项式定理的系数和性质求和。

点击查看答案

数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=k$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：当 $k=1$ 时，$S_1=a_1=\frac{1}{2}{a}_1{a}_2$，由 $a_1=1$ 解得 $a_2=2$． 当 $k\ge 2$ 时，由 $S_k=\frac{1}{2}{a}_k{a}_{k+1}$ 且 $S_{k-1}=\frac{1}{2}{a}_{k-1}{a}_k$ 对应相减得： $a_k=S_k-S_{k-1}=\frac{1}{2}{a}_k{a}_{k+1}-\frac{1}{2}{a}_{k-1}{a}_k=\frac{1}{2}{a}_k(a_{k+1}-a_{k-1})$ 因为数列各项全不为零，两边同除以 $\frac{1}{2}{a}_k$ 得： $a_{k+1}-a_{k-1}=2(k\ge 2)$ 由此可知，数列 $\{a_k\}$ 的奇数项和偶数项分别构成公差为 2 的等差数列． 当 $k$ 为奇数时，$a_k=a_1+2\times \frac{k-1}{2}=1+(k-1)=k$； 当 $k$ 为偶数时，$a_k=a_2+2\times \frac{k-2}{2}=2+(k-2)=k$． 综上所述，数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=k$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)．

(2) 解：由 (1) 知 $a_{k+1}=k+1$，代入已知条件得： $\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{k-n}{k+1}$ 当 $k\ge 2$ 时，利用累乘法可得： $b_k=b_1\cdot \frac{b_2}{b_1}\cdot \frac{b_3}{b_2}\cdots \frac{b_k}{b_{k-1}}=1\cdot \frac{1-n}{2}\cdot \frac{2-n}{3}\cdots \frac{k-1-n}{k}$ $b_k=\frac{(-1{)}^{k-1}(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}=\frac{(-1{)}^{k-1}}{n}\cdot \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}$ 引入组合数记号变形为： $b_k=\frac{(-1{)}^{k-1}}{n}{\text{C}}_n^k$ 当 $k=1$ 时，$b_1=\frac{(-1{)}^0}{n}{\text{C}}_n^1=1$ 也满足上式． 故对任意 $k=1,2,\cdots ,n$，均有 $b_k=\frac{(-1{)}^{k-1}}{n}{\text{C}}_n^k$． 则所求之和为： $b_1+b_2+\cdots +b_n={\sum }_{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{n}{\text{C}}_n^k=\frac{1}{n}\left[{\text{C}}_n^1-{\text{C}}_n^2+{\text{C}}_n^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}{\text{C}}_n^n\right]$ 根据二项式定理，在 $(1-x{)}^n$ 中令 $x=1$ 可得： $(1-1{)}^n={\text{C}}_n^0-{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2-{\text{C}}_n^3+\cdots +(-1{)}^n{\text{C}}_n^n=0$ 移项整理得： ${\text{C}}_n^1-{\text{C}}_n^2+{\text{C}}_n^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}{\text{C}}_n^n={\text{C}}_n^0=1$ 将此式代入和式中可得： $b_1+b_2+\cdots +b_n=\frac{1}{n}\times 1=\frac{1}{n}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由和与项的递推式求通项，累乘法的代数重组，组合数与二项式定理的结合。

2. 核心方法：奇偶项隔离归纳法，组合数整体配凑法。

3. 避坑指南：(1)问中由 $a_{k+1}-a_{k-1}=2$ 必须严格分奇偶两类路径推导再合并，不能直接盲目套用全项等差数列公式；(2)问在累乘展开后，核心难点在于将分子分母同时扩展引入因数 $n$，配凑出标准组合数 ${\text{C}}_n^k$ 结构，否则后续多项式求和将无法化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于高等数学中差分方程的初等表现形式，通过精妙设计商的递推关系，使其在形式上与二项式展开式的交错系数项达成同构，是考查高观点下离散数学思维的经典压轴题。

5. 结论推广：若数列满足 $\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{k-n}{k+1}$ 且 $b_1=1$，则其各项之和具有极其精简的单一调和结构，即 ${\sum }_{k=1}^n{b}_k=\frac{1}{n}$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷III理-17 解-等比数列