2008-上海卷理-02 填-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算和含参不等式的临界处理，侧重考查数形结合思想。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 若集合 $A=\{x\mid x\le 2\}$、$B=\{x\mid x\ge a\}$ 满足 $A\cap B=\{2\}$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将两个集合所表示的取值范围在数轴上动态表示出来。
2. 根据交集仅含一个元素 $\{2\}$，分析两区间端点的对应位置关系。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A=\{x\mid x\le 2\}$，$B=\{x\mid x\ge a\}$，

• 当 $a<2$ 时，$A\cap B=[a,2]$，含有无数个元素；
• 当 $a>2$ 时，$A\cap B=\varnothing$；
• 当 $a=2$ 时，$A\cap B=\{2\}$，恰好符合题意。 所以实数 $a=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：交集的含义与含参区间的临界问题。
2. 核心方法：数形结合法，通过数轴观察两个区间的公共部分。
3. 避坑指南：注意交集是单元素集合 $\{2\}$ 意味着两个区间的闭端点必须恰好重合，极易误写成不等式范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中关于集合运算与数轴表示的课后练习题。
2. 结论推广: 对于区间 $A=(-\infty ,m]$ 和 $B=[a,+\infty )$，若 $A\cap B=\{m\}$，则必有 $a=m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参