2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式

本题导读

考查集合运算。$A=(0,2)$；$B$ 由 $\frac{x-1}{x+2}<0$ 得 $(-2,1)$，$A\cap B=(0,1)$。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 设集合 $A=\{x\mid {\log }_{2}x<1\}$，$B=\left\{x|\frac{x-1}{x+2}<0\right\}$，则 $A\cap B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. ${\log }_{2}x<1={\log }_{2}2$，得 $0<x<2$，即 $A=(0,2)$。
2. $\frac{x-1}{x+2}<0$ 等价于 $(x-1)(x+2)<0$，得 $-2<x<1$，即 $B=(-2,1)$。
3. $A\cap B=(0,1)$。

✅【答案】

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$\{x\mid 0<x<1\}$

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\log }_{2}x<1={\log }_{2}2$ 且 $x>0$，得 $0<x<2$，即 $A=\{x\mid 0<x<2\}$。 由 $\frac{x-1}{x+2}<0$，等价于 $(x-1)(x+2)<0$，解得 $-2<x<1$，即 $B=\{x\mid -2<x<1\}$。 所以 $A\cap B=\{x\mid 0<x<1\}$。 （注：本套原卷 PDF 重排版将该分式不等式误印为"$<1$"；按官方标准版"$<0$"录入，若按"$<1$"则 $B=\{x\mid x>-2\}$，$A\cap B=(0,2)$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集与不等式

核心方法：对数不等式保定义域；分式不等式化积

避坑指南：$A=(0,2)$；$\frac{x-1}{x+2}<0\iff (x-1)(x+2)<0$ 得 $B=(-2,1)$；交集 $(0,1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式先写定义域 $x>0$，再比真数。

结论推广：分式小于零直接化为分子分母异号，即二次不等式。

方法推广：交集运算在数轴上画图最不易漏端点开闭。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-02 单-集合交集
• 2009-新课标卷文-01 单-集合交集
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2009-天津卷文-05 单-指对数比较大小