2008-北京卷文-04 单-正弦定理求角

本题导读

考查正弦定理。$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由 $a<b$ 知 $A<60^{\circ }$ 排除 $135^{\circ }$，$A=45^{\circ }$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知 $△ABC$ 中，$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$B=60^{\circ }$，那么角 $A$ 等于()

A. $135^{\circ }$　　　　　　B. $90^{\circ }$　　　　　　C. $45^{\circ }$　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，解出 $\sin A$。
2. 大边对大角：$a<b\Rightarrow A<B=60^{\circ }$，排除钝角解 $135^{\circ }$。
3. 确定 $A=45^{\circ }$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理， $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 所以 $A=45^{\circ }$ 或 $A=135^{\circ }$. 因为 $a=\sqrt{2}<\sqrt{3}=b$，由大边对大角得 $A<B=60^{\circ }$，故 $A=45^{\circ }$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与解的个数

核心方法：$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$a<b\Rightarrow A<B=60^{\circ }$，$A=45^{\circ }$

避坑指南：正弦定理解出 $\sin A$ 后有锐、钝两解，必须用”大边对大角”（$a<b\Rightarrow A<B$）或内角和检验取舍；本题 $B=60^{\circ }$ 直接排除 $135^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“正弦值两解取舍”是解三角形第一坑，2010 大纲Ⅰ文第 18 题、2011 北京文第 9 题同型。

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；大边对大角；$A+B<180^{\circ }$。

方法推广：解出正弦值先写两个候选角，再立即用边角关系排除；不排除直接写答案是本题最大的失分点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角
• 2010-大纲卷I文-18 解-正弦定理求角
• 2011-北京卷文-09 填-正弦定理求边
• 2012-北京卷文-11 填-正弦定理解三角形