2011-北京卷文-09 填-正弦定理求边

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，若 $b=5$，$\angle B=\frac{\pi }{4}$，$\sin A=\frac{1}{3}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$a=\frac{b\sin A}{\sin B}$ 直接代入

✅【答案】

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$\frac{5\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，

$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{5\times \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{5}{3}\times \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的基本应用

核心方法：已知两角一对边：$a=\frac{b\sin A}{\sin B}$ 一步代入

避坑指南：分母有理化：$\frac{10}{3\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$；若把 $\sin B$ 误当 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 会全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理求边与 2012-福建卷文-13（正弦定理求边）、2012-新课标卷文-17（正余弦定理解三角形）同族。

结论推广：推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$；由 $\sin A=\frac{1}{3}<\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 知 $a<b$，解唯一（$A$ 为锐角）。

方法推广：解三角形填空：正弦定理直接代入，结果分母有理化；可顺手用”大边对大角”检验解的合理性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-13 填-正弦定理求边
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形