2008-北京卷理-02 单-对数

本题导读

本题考查不同形式常数的大小比较，通过引入中间量 0 和 1，利用指数函数、对数函数以及三角函数的性质判断各数范围。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 若 $a=2^{0.5}$，$b={\log }_{\pi }3$，$c={\log }_2\sin \frac{2\pi }{5}$，则 ()

A. $a>b>c$　　B. $b>a>c$　　C. $c>a>b$　　D. $b>c>a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 评估 $a$ 的范围：分析底数与指数，与 $1$ 进行比较。
2. 评估 $b$ 的范围：利用对数函数的单调性，与 $1$ 进行比较。
3. 评估 $c$ 的范围：先分析真数 $\sin \frac{2\pi }{5}$ 的范围，再利用对数性质确定其正负。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

对于 $a=2^{0.5}=\sqrt{2}$，因为 $\sqrt{2}>\sqrt{1}$，所以 $a>1$。 对于 $b={\log }_{\pi }3$，因为 $\pi \approx 3.14>3>1$，且对数函数 $y={\log }_{\pi }x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，所以 $0<{\log }_{\pi }3<{\log }_{\pi }\pi =1$，即 $0<b<1$。 对于 $c={\log }_2\sin \frac{2\pi }{5}$，因为 $0<\sin \frac{2\pi }{5}<1$，且底数 $2>1$，所以 ${\log }_2\sin \frac{2\pi }{5}<{\log }_{2}1=0$，即 $c<0$。 综上所述，$a>1$，$0<b<1$，$c<0$，可得 $a>b>c$。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本初等函数的单调性的应用，常数大小比较。
2. 核心方法：中介值法。通常选择 $0$ 或 $1$ 作为分界点。
3. 避坑指南：注意 $c$ 中对数的真数是一个正弦值，不要盲目展开计算，只需通过 $\sin \theta \in (0,1)$ 判定其对数结果为负数即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的指、对、三函数值大小比较题，改编自人教A版必修1中函数的应用综合练习。

2. 结论推广: 比较大小题型中，若各数类型不同，首选“0、1分界法”；若无法区分，再通过作差、作商或寻找其单调性相同的代换函数处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称