2009-上海卷理-06 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的降幂公式、二倍角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 函数 $y=2{\cos }^{2}x+\sin 2x$ 的最小值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 降幂变形：利用余弦的二倍角降幂公式 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，将原式转化为关于 $2x$ 的一次式。

2. 合成最值：利用辅助角公式 $A\sin \theta +B\cos \theta =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\theta +\phi )$ 化简，由正弦函数的有界性直接得出最小值。

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$1-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

运用降幂公式对原函数进行恒等变换： $y=2{\cos }^{2}x+\sin 2x=(1+\cos 2x)+\sin 2x=\sin 2x+\cos 2x+1$ 利用辅助角公式进行合并： $y=\sqrt{1^2+1^2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$ 因为对任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $-1\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$， 所以当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$ 时，函数取得最小值： $y_{\min }=\sqrt{2}\times (-1)+1=1-\sqrt{2}$ 故填 $1-\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式的结构化应用以及正弦型函数的最值范围。

2. 核心方法：通过“降幂”和“合一”两步标准动作进行式子化简。

3. 避坑指南：降幂时注意 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，不要漏掉常数项 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的三角恒等变换基础常规题，旨在考查基本的三角公式熟练度。

2. 结论推广: 对于形如 $y=a{\cos }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\sin }^{2}x$ 的二次齐次式，均可通过倍角与降幂统一转化为 $\sqrt{A^2+B^2}\sin (2x+\phi )+C$ 的单三角函数模型求解最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数