2008-北京卷理-12 填-导数

本题导读

本题通过直角坐标系下的折线段图象，考查分段函数的复合求值问题，并考查利用导数的几何意义（图象切线的斜率）求解极限值的能力。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A,B,C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4)$，则 $f(f(0))=$ $\underline{}$；${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=$ $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：由点 $A(0,4)$ 可知 $f(0)=4$，再通过求出线段 $BC$ 所在直线的方程，计算 $f(4)$ 的值。
2. 第二空：识别出极限式 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$ 的几何背景即为函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime }(1)$。由于 $x=1$ 落在直线段 $AB$ 上，其导数值即为线段 $AB$ 的斜率。

✅【答案】

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$2，-2$

✍【详细解析】

Abstract

① 求 $f(f(0))$： 由图象及已知条件可知，当 $x=0$ 时，对应的点为 $A(0,4)$，所以 $f(0)=4$。 从而 $f(f(0))=f(4)$。 因为 $x=4$ 位于区间 $[2,6]$ 上，此时函数图象为线段 $BC$。 已知 $B(2,0),C(6,4)$，由两点式可求得线段 $BC$ 所在直线的方程为： $y-0=\frac{4-0}{6-2}(x-2)⟹y=x-2$ 将 $x=4$ 代入得 $f(4)=4-2=2$。 所以 $f(f(0))=2$。

② 求极限值： 根据导数的定义，极限式 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数 $f^{\prime }(1)$。 在几何图象上，$f^{\prime }(1)$ 即为图象在 $x=1$ 处的切线斜率。 因为 $x=1$ 位于区间 $[0,2]$ 内，此时函数图象为线段 $AB$。 已知 $A(0,4),B(2,0)$，该直线段上任意一点的斜率均等于： $k_{AB}=\frac{0-4}{2-0}=-2$ 由于该段为直线，故其上各点的导数恒等于斜率，即 $f^{\prime }(1)=-2$。 所以该极限值为 $-2$。 答案：2；-2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数与复合函数的求值规律；导数的定义公式及其几何意义（斜率）。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：

• 求第一空时，注意 $f(0)=4$ 是第一步，第二步求 $f(4)$ 时需换用线段 $BC$ 的对应解析式，不可混淆区间。
• 第二空极易被繁琐的代数极限式吓倒，必须看穿其本质是瞬时变化率（导数定义），从而通过求线段斜率直接秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题巧妙地将极限、导数入门概念与初等几何折线图相融合，源自教材中对导数几何意义的基本定义。
2. 结论推广: 对于任何由线段组合而成的折线函数图象，只要 $x_0$ 不是折线交界处的“拐点”（尖点），函数在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 必定等于该段线段所在直线的斜率；在拐点处，左右导数不相等，导数不存在。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值