2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数

本题导读

考查导数综合。$f(x)=x^2+1$，$g(x)=x^3+a{x}^2+x+a$。（1）$\Delta =4(a^2-3)⩾0$，$a\in (-\infty ,-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3},+\infty )$；（2）$a=2$，增区间 $(-\infty ,-1)$ 与 $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$，减区间 $\left(-1,-\frac{1}{3}\right)$。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 已知 $f(x)=x^2+bx+c$ 为偶函数，曲线 $y=f(x)$ 过点 $(2,5)$，$g(x)=(x+a)f(x)$.

(1)求曲线 $y=g(x)$ 有斜率为 $0$ 的切线，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)若当 $x=-1$ 时函数 $y=g(x)$ 取得极值，确定 $y=g(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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1. 偶函数 $\Rightarrow b=0$；过 $(2,5)\Rightarrow c=1$，$f(x)=x^2+1$。
2. $g(x)=(x+a)(x^2+1)=x^3+a{x}^2+x+a$，$g^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1$。 3.（1）有斜率为 $0$ 的切线 $⟺\Delta =4(a^2-3)⩾0$。 4.（2）$g^{\prime }(-1)=3-2a+1=0\Rightarrow a=2$。
3. $g^{\prime }(x)=(3x+1)(x+1)$，零点 $-1$ 与 $-\frac{1}{3}$，分段定号。

✅【答案】

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(1) $(-\infty ,-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3},+\infty )$；(2)单调增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$，单调减区间为 $\left(-1,-\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $f(x)=x^2+bx+c$ 是偶函数，所以 $b=0$。又曲线过点 $(2,5)$，故 $4+c=5$，$c=1$。 于是 $f(x)=x^2+1$，从而 $g(x)=(x+a)(x^2+1)=x^3+a{x}^2+x+a.$ 曲线的切线斜率为 $g^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1$。存在斜率为 $0$ 的切线，等价于方程 $3x^2+2ax+1=0$ 有实数解，即 $\Delta =(2a{)}^2-4\times 3\times 1=4(a^2-3)⩾0.$ 所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3},+\infty )$。 （2）当 $x=-1$ 时函数取得极值，必须有 $g^{\prime }(-1)=0$。因此 $3-2a+1=0$，$a=2$。 此时 $g^{\prime }(x)=3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1).$ 结合两个零点 $-1$ 和 $-\frac{1}{3}$，得 $g^{\prime }(x)>0$ 在 $(-\infty ,-1)\cup \left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$ 上成立， $g^{\prime }(x)<0$ 在 $\left(-1,-\frac{1}{3}\right)$ 上成立。 因此 $g(x)$ 的单调增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$，单调减区间为 $\left(-1,-\frac{1}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数条件与导数综合

核心方法：$b=0$、$c=1$ 定 $f$；（1）判别式；（2）极值点定 $a$ 再分解导数

避坑指南：（1）“有斜率为 $0$ 的切线”$⟺g^{\prime }(x)=0$ 有实根，$\Delta ⩾0$ 含等号，端点 $\pm \sqrt{3}$ 要保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：偶函数不含奇次项，直接得 $b=0$。

结论推广：$g^{\prime }(-1)=0$ 是极值的必要条件，本题二次导数变号天然满足充分性。

方法推广：单调区间分段写：增 $(-\infty ,-1)$ 与 $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$，减 $\left(-1,-\frac{1}{3}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
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