2008-北京卷理-14 填-数列

本题导读

本题是一道新定义应用题。通过引入取整函数 $T(a)$ 构造了一个二维坐标点的复杂递推结构，考查学生通过具体数据试算、发现并归纳出点坐标迭代周期性规律的能力。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_k(x_k,y_k)$ 处，其中 $x_1=1,y_1=1$，当 $k\ge 2$ 时， $\{\begin{array}{l}{x}_k=x_{k-1}+1-5\left[T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)\right]\\ y_k=y_{k-1}+T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)\end{array}$ $T(a)$ 表示非负实数 $a$ 的整数部分，例如 $T(2.6)=2,T(0.2)=0$.按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 $\underline{}$；第 2008 棵树种植点的坐标应为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 深刻理解核心变量 $\Delta T=T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)$ 的取值规律。由于分母为 5，当且仅当 $k-1$ 是 5 的倍数时，其各项取整增加 1，即 $\Delta T=1$，其余情况 $\Delta T=0$。
2. 依次计算前几项 $P_2,P_3,P_4,P_5,P_6$ 的具体坐标，观察 $x_k$ 与 $y_k$ 的变化周期。
3. 归纳出通项分类规律，将 2008 除以 5 进行周期定位，求出最终坐标。

✅【答案】

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$(1,2)，(3,402)$

✍【详细解析】

Abstract

令 $\Delta T_k=T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)$。 当 $k=2,3,4,5$ 时，$\frac{k-1}{5}$ 与 $\frac{k-2}{5}$ 的整数部分相同，故 $\Delta T_k=0$。 此时递推式简化为：$x_k=x_{k-1}+1$，$y_k=y_{k-1}$。 已知 $P_1(1,1)$，则： $P_2(2,1)$，$P_3(3,1)$，$P_4(4,1)$，$P_5(5,1)$。

当 $k=6$ 时，$\Delta T_6=T\left(\frac{5}{5}\right)-T\left(\frac{4}{5}\right)=1-0=1$。 代入递推式得： $x_6=x_5+1-5\times 1=5+1-5=1$， $y_6=y_5+1=1+1=2$。 故第 6 棵树种植点的坐标为 $(1,2)$。

以此类推，当 $k=7,8,9,10$ 时，$\Delta T_k=0$，则 $x_k$ 依次加 1，$y_k$ 保持不变； 当 $k=11$ 时，$\Delta T_{11}=1$，$x_{11}$ 归位为 $1$，$y_{11}$ 加 1 变为 $3$。 归纳可知：点的横坐标 $x_k$ 以 5 为周期循环出现 $1,2,3,4,5$；纵坐标 $y_k$ 每隔 5 步增加 1。 由此可得通项规律： $x_k=((k-1)(\mathrm{mod}5))+1$ $y_k=T\left(\frac{k-1}{5}\right)+1$

对于第 2008 棵树，即 $k=2008$： $k-1=2007$。 因为 $2007=401\times 5+2$，所以余数行为 2。 $x_{2008}=2+1=3$。 $y_{2008}=T\left(\frac{2007}{5}\right)+1=401+1=402$。 所以第 2008 棵树种植点的坐标为 $(3,402)$。 答案：$(1,2)$；$(3,402)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：取整函数的差分性质；数阵/网格点坐标的周期性滑移规律。
2. 核心方法：前几项试验穷举法 $\to$ 发现规律 $\to$ 建立周期数学模型。
3. 避坑指南：计算 $x_6$ 时容易将公式中减去的 $5$ 漏掉，导致算成 $(6,2)$，需严格代入递推式。另外，求大项数时要注意首项是从 $k=1$ 开始，周期对应的是 $k-1$ 的余数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的高考新定义信息题，其本质是将计算机程序中的循环嵌套（双重循环）用数学递推公式进行代数化包装。
2. 结论推广: 设数列满足 $x_n=x_{n-1}+1-L\cdot \Delta T$ 结构，在几何上对应“蛇形”或“回行”网格点轨迹分布。处理此类问题，直接根据分母判定最小单向周期，写出商与余数的表达式即可秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-09 单-取整函数数列
• 2010-浙江卷文-21 解-三次函数与等差数列
• 2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数