2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数

本题导读

本题考查等差数列的性质与函数值的整体代换，以及代数式的变形。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

设函数 $f(x)=2x-\cos x$，$\{a_n\}$ 是公差为 $\frac{\pi }{8}$ 的等差数列，$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_5)=5\pi$，则 $[f(a_3){]}^2-a_1{a}_5=$()

A. $0$

B. $\frac{1}{16}{\pi }^2$

C. $\frac{1}{8}{\pi }^2$

D. $\frac{13}{16}{\pi }^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 $f(x)=2x-\cos x$ 的单调性与 $f(a_1)+\cdots +f(a_5)=5\pi$ 求 $a_3$。

2. 由等差数列 $a_1+a_5=2a_3$，$a_1+a_2+\cdots +a_5=5a_3$。

3. 整体代换求 $[f(a_3){]}^2-a_1{a}_5$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=2x-\cos x$，$f^{\prime }(x)=2+\sin x>0$，$f$ 单调递增。

$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_5)=5\pi$，由对称性及 $a_3$ 为中间项，可推得 $f(a_3)=\pi$。

由 $f(a_3)=2a_3-\cos a_3=\pi$，解得 $a_3=\frac{\pi }{2}$（此时 $\cos \frac{\pi }{2}=0$）。

公差 $d=\frac{\pi }{8}$，故 $a_1=\frac{\pi }{2}-2\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$，$a_5=\frac{\pi }{2}+2\cdot \frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{4}$。

$[f(a_3){]}^2-a_1{a}_5={\pi }^2-\frac{\pi }{4}\cdot \frac{3\pi }{4}={\pi }^2-\frac{3{\pi }^2}{16}=\frac{13{\pi }^2}{16}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的性质（等差中项）

核心方法：函数单调性的应用

避坑指南：整体代换与代数变形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列与函数的综合

结论推广：可推广到数列项与函数值的对应

方法推广：利用单调性将和的条件转化为项的条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-21 解-平面向量的数量积坐标运算

• 2002-新课标理-22 解-数列的递推关系

• 2005-上海卷理-20 解-等差数列与等比数列的通项