2008-北京卷理-16 解-二面角

本题导读

本题以三棱锥为载体，全面考查空间线面垂直的判定、二面角的计算以及点到平面距离的求解。通过利用隐藏的垂直关系建立空间直角坐标系，能够将传统的几何证明与角度求解彻底代数化。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AC=BC=2$，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AP=BP=AB$，$PC\perp AC$.

(1) 求证：$PC\perp AB$；

(2) 求二面角 $B-AP-C$ 的大小；

(3) 求点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用勾股定理计算出 $PC$ 的长度，进而在 $△PBC$ 中利用勾股定理逆定理证出 $PC\perp BC$，从而通过线面垂直的判定定理推出 $PC\perp$ 平面 $ABC$。
2. 第(2)问：以 $C$ 为原点，射线 $CA,CB,CP$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，求出平面 $PAC$ 与平面 $PAB$ 的法向量，利用向量夹角公式求解。
3. 第(3)问：利用点到平面的向量距离公式求解，或利用三棱锥的等体积法 $V_{C-APB}=V_{P-ABC}$ 快速计算。

✅【答案】

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（1）𝑃𝐶⟂𝐴𝐵.（2）二面角𝐵−𝐴𝑃−𝐶的大小为arcsin√63.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在 Rt$△ABC$ 中，由于 $AC=BC=2$，$\angle ACB=90^{\circ }$， 所以 $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 由已知 $AP=AB=2\sqrt{2}$，且 $PC\perp AC$。 在 Rt$△PAC$ 中，由勾股定理得： $PC=\sqrt{A{P}^2-A{C}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2$ 在 $△PBC$ 中，因为 $PC=2,BC=2,BP=AB=2\sqrt{2}$， 满足 $P{C}^2+B{C}^2=2^2+2^2=8=B{P}^2$， 根据勾股定理的逆定理，$△PBC$ 是以 $\angle PCB$ 为直角的直角三角形，即 $PC\perp BC$。 又因为 $AC\cap BC=C$，且 $AC,BC\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $PC\perp$ 平面 $ABC$。 由于 $AB\subset$ 平面 $ABC$，故 $PC\perp AB$。

(2) 解： 由(1)可知 $CA,CB,CP$ 两两互相垂直。 以 $C$ 为坐标原点，射线 $CA,CB,CP$ 分别为 $x,y,z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 则各点坐标为： $C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2)$ 从而可得向量： $\overrightarrow{AC}=(-2,0,0),\overrightarrow{PC}=(0,0,-2),\overrightarrow{AB}=(-2,2,0),\overrightarrow{AP}=(-2,0,2)$ 易知平面 $PAC$ 的一个法向量可取为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。 设平面 $PAB$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AB}=-2x+2y=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AP}=-2x+2z=0\end{array}⟹x=y=z$ 令 $x=1$，得平面 $PAB$ 的一个法向量 ${\mathbf{n}}_2=(1,1,1)$。 设二面角 $B-AP-C$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =|\cos ⟨{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2⟩|=\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|0\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 1|}{1\times \sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 所以二面角 $B-AP-C$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(3) 解： 解法一（向量法）： 由(2)知，平面 $PAB$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(1,1,1)$，且 $\overrightarrow{CA}=(2,0,0)$。 则点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\overrightarrow{CA}\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|2\times 1+0\times 1+0\times 1|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

解法二（等体积法）： 由于 $PC\perp$ 平面 $ABC$，三棱锥 $P-ABC$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PC=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 2\times 2\right)\times 2=\frac{4}{3}$ 又 $△PAB$ 是边长为 $2\sqrt{2}$ 的等边三角形，其面积为： $S_{△PAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (2\sqrt{2}{)}^2=2\sqrt{3}$ 设点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离为 $d$，由 $V_{C-PAB}=V_{P-ABC}$ 得： $\frac{1}{3}{S}_{△PAB}\cdot d=\frac{4}{3}⟹\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times d=\frac{4}{3}⟹d=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 故点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定定理；利用空间向量计算面面夹角；点到平面的距离的代数与几何求法。
2. 核心方法：

• 证明线线垂直时，常通过“线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 线线垂直”的逻辑链条进行转化。
• 只要图形中出现两两垂直或对称结构，优先选择“空间直角坐标系法”，能够极大地降低思维量。

3. 避坑指南：第(2)问求得向量夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 后，需要结合图形判定二面角是锐角还是钝角，从而确定最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于传统直角“墙角”模型的变体（$CA,CB,CP$ 两两垂直），通过隐藏 $PC\perp BC$ 来增加第一问的论证难度。
2. 结论推广: 任何三棱锥中，若存在两条侧棱与底面边缘构成直角且长度特殊，其外接球及任意点面距离均可以通过等体积法或将其补形为长方体的一部分来进行快速秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角
• 2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角