2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角

本题导读

考查线面角与二面角。$AM$ 方向 $(0,\sqrt{3},-\sqrt{3})$ 与法向量 $(0,0,1)$ 给出 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta =45^{\circ }$；两面法向量夹角余弦 $\frac{\sqrt{5}}{5}$，正弦 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 如图，$△BCD$ 与 $△MCD$ 都是边长为 $2$ 的正三角形，平面 $MCD\perp$ 平面 $BCD$，$AB\perp$ 平面 $BCD$，$AB=2\sqrt{3}$.

(1) 求直线 $AM$ 与平面 $BCD$ 所成的角的大小；

(2) 求平面 $ACM$ 与平面 $BCD$ 所成二面角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $CD$ 中点 $O$：$OB\perp CD$，$OM\perp CD$，$OM=\sqrt{3}$。面 $MCD\perp$ 面 $BCD$ 交线 $CD$，故 $OM\perp$ 面 $BCD$。
2. 以 $O$ 为原点，$OC$、$OB$、$OM$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴：$C(1,0,0)$，$B(0,-\sqrt{3},0)$，$M(0,0,\sqrt{3})$，$A(0,-\sqrt{3},2\sqrt{3})$。
3. (1) $\overrightarrow{AM}=(0,\sqrt{3},-\sqrt{3})$，面 $BCD$ 法向量 $(0,0,1)$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta =45^{\circ }$。
4. (2) 面 $ACM$ 法向量：$\overrightarrow{CA}=(-1,-\sqrt{3},2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{CM}=(-1,0,\sqrt{3})$，叉积 $n=(-3,-\sqrt{3},-\sqrt{3})$，取 $n_1=(3,\sqrt{3},\sqrt{3})$。
5. $\cos ⟨n_1,n_2⟩=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，二面角正弦 $=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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(1) $45^{\circ }$

(2) 所求二面角的正弦值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

取 $CD$ 的中点 $O$，连接 $OB$，$OM$. 因为 $△BCD$ 与 $△MCD$ 都是边长为 $2$ 的正三角形， 所以 $OB\perp CD$，$OM\perp CD$，且 $OB=OM=\sqrt{3}$. 又平面 $MCD\perp$ 平面 $BCD$，交线为 $CD$，所以 $OM\perp$ 平面 $BCD$. 又 $AB\perp$ 平面 $BCD$，故 $MO\parallel AB$，$A$，$B$，$O$，$M$ 四点共面. 以 $O$ 为原点，直线 $OC$、$OB$、$OM$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $O(0,0,0),C(1,0,0),D(-1,0,0),B(0,-\sqrt{3},0),M(0,0,\sqrt{3}),A(0,-\sqrt{3},2\sqrt{3}).$ (1) $\overrightarrow{AM}=M-A=(0,\sqrt{3},-\sqrt{3})$，$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{6}$. 平面 $BCD$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(0,0,1)$. 设直线 $AM$ 与平面 $BCD$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|\overrightarrow{AM}||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$ 故 $\theta =45^{\circ }$，即直线 $AM$ 与平面 $BCD$ 所成的角为 $45^{\circ }$. (2) $\overrightarrow{CA}=A-C=(-1,-\sqrt{3},2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{CM}=M-C=(-1,0,\sqrt{3})$. 设平面 $ACM$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x,y,z)$，由

\boldsymbol n_1\cdot\overrightarrow{CM}=0,\end{cases}\quad\text{即}\quad\begin{cases}-x-\sqrt3y+2\sqrt3z=0, -x+\sqrt3z=0,\end{cases}$$ 由第二式得 $x=\sqrt3z$，代入第一式得 $y=z$. 取 $z=1$，得 $\boldsymbol n_1=(\sqrt3,1,1)$，$|\boldsymbol n_1|=\sqrt5$. 平面 $BCD$ 的法向量 $\boldsymbol n_2=(0,0,1)$. 设所求二面角为 $\varphi$，则 $$|\cos\varphi|=\frac{|\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2|}{|\boldsymbol n_1|\,|\boldsymbol n_2|}=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}5,$$ $$\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-\frac15}=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5.$$ 故平面 $ACM$ 与平面 $BCD$ 所成二面角的正弦值为 $\dfrac{2\sqrt5}5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直与空间角

核心方法：取 $CD$ 中点 $O$ 建 $O$-$xyz$ 系；线面角用 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \mathbf{n}|}{|\vec{v}||\mathbf{n}|}$，二面角用两法向量夹角

避坑指南：$OM\perp$ 面 $BCD$ 的依据是面面垂直的性质定理（交线 $CD$ 上两条垂线），“面面垂直则面内直线垂直于另一面”必须以垂直于交线为前提；法向量 $(\sqrt{3},1,1)$ 的模是 $\sqrt{5}$ 不是 $\sqrt{13}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两个全等正三角形沿公共边拼接、再加一条垂线段，是命制线面角二面角题的高频骨架。

结论推广：几何法（$\angle AEB$）与向量法殊途同归：本题延长 $AM$、$BO$ 交于 $E$ 后 $\tan \angle AEB=2$，与向量结果一致。

方法推广：二面角”求正弦”往往暗示余弦带根号且符号需斟酌：无向角取绝对值，$\sin =\sqrt{1-{\cos }^2}$ 免去方向讨论。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-19 解-四棱锥线面角
• 2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
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