2008-北京卷理-19 解-椭圆

本题导读

本题考查利用解析几何方法解决平面图形的最值问题。结合菱形对角线垂直的性质确定直线斜率，通过联立直线与椭圆方程利用韦达定理及弦长公式构建面积函数求解最大值。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知菱形 $ABCD$ 的顶点 $A,C$ 在椭圆 $x^2+3y^2=4$ 上，对角线 $BD$ 所在直线的斜率为 1.

(1) 当直线 $BD$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $AC$ 的方程；

(2) 当 $\angle ABC=60^{\circ }$ 时，求菱形 $ABCD$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用菱形对角线互相垂直，由 $k_{BD}=1$ 得到 $k_{AC}=-1$，设出 $AC$ 方程并与椭圆联立，利用 $AC$ 的中点在直线 $BD$ 上确定参数。
2. 第(2)问：由 $\angle ABC=60^{\circ }$ 结合菱形性质得出 $BD=\sqrt{3}AC$，从而面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}A{C}^2$，利用弦长公式将 $A{C}^2$ 表示为含截距参数 $m$ 的函数，进而求出最大值。

✅【答案】

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（1）直线𝐴𝐶的方程为𝑥+𝑦+2=0.（2）菱形𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值为4√3.

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以对角线 $AC\perp BD$。 由于直线 $BD$ 的斜率为 $1$，故直线 $AC$ 的斜率为 $-1$。

(1) 因为直线 $BD$ 过点 $(0,1)$ 且斜率为 $1$，所以直线 $BD$ 的方程为 $y=x+1$。 设直线 $AC$ 的方程为 $y=-x+m$，设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，其线段 $AC$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$。 联立直线 $AC$ 与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=-x+m\\ x^2+3y^2=4\end{array}⟹x^2+3(-x+m{)}^2=4⟹4x^2-6mx+3m^2-4=0$ 由韦达定理得：$x_1+x_2=\frac{6m}{4}=\frac{3m}{2}$， 所以中点 $M$ 的横坐标 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3m}{4}$， 代入 $y=-x+m$ 得纵坐标 $y_0=-\frac{3m}{4}+m=\frac{m}{4}$。 因为菱形的对角线互相平分，所以中点 $M(x_0,y_0)$ 也在直线 $BD$ 上， 将 $M\left(\frac{3m}{4},\frac{m}{4}\right)$ 代入 $y=x+1$ 得： $\frac{m}{4}=\frac{3m}{4}+1⟹\frac{2m}{4}=-1⟹m=-2$ 故直线 $AC$ 的方程为 $y=-x-2$，即 $x+y+2=0$。

(2) 设直线 $AC$ 的方程为 $y=-x+m$，由(1)可知： $4x^2-6mx+3m^2-4=0$ 直线与椭圆相交两点，则判别式： $\Delta =(-6m{)}^2-4\times 4\times (3m^2-4)=36m^2-48m^2+64=64-12m^2>0⟹m^2<\frac{16}{3}$ 根据弦长公式，线段 $AC$ 的长度平方为： $A{C}^2=(1+k^2)[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=(1+1)\left[{\left(\frac{3m}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{3m^2-4}{4}\right]$ $=2\left[\frac{9m^2}{4}-3m^2+4\right]=2\left[4-\frac{3m^2}{4}\right]=8-\frac{3}{2}{m}^2$ 在菱形 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$，设交点为 $M$。 因为 $\angle ABC=60^{\circ }$，所以 $\angle ABM=30^{\circ }$。 在 Rt$△ABM$ 中，$BM=\frac{AM}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}AM$，故 $BD=\sqrt{3}AC$。 所以菱形 $ABCD$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{\sqrt{3}}{2}A{C}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(8-\frac{3}{2}{m}^2\right)=4\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}{m}^2$ 因为 $m^2\ge 0$，所以当 $m=0$ 时（此时 $m^2=0<\frac{16}{3}$，符合 $\Delta >0$），面积 $S$ 取得最大值 $4\sqrt{3}$。 故菱形 $ABCD$ 面积的最大值为 $4\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与椭圆联立的通用代数流程（韦达定理、弦长公式）；菱形对角线垂直且平分的几何性质。
2. 核心方法：

• 点斜式中点代入法确定参数。
• 面积函数化，将几何面积用单一变量 $m^2$ 的代数式表达，利用二次函数的单调性求最值。

3. 避坑指南：第(2)问中注意审题，题目中仅限制 $A,C$ 两点在椭圆上，$B,D$ 无此限制，切勿盲目将 $B,D$ 的坐标也带入椭圆方程去联立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由圆锥曲线中经典的弦长问题与初等几何多边形性质（菱形）复合而成的综合性题目。
2. 结论推广: 若椭圆上两点 $A,C$ 的连线斜率为定值 $k$，则线段 $AC$ 的中点 $M$ 的轨迹是一条过原点的直线段（不含端点），其方程为 $y=-\frac{b^2}{a^{2}k}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-上海卷理-09 填-椭圆
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形