2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形

本题导读

考查焦点三角形。$|P{F}_2|=2a-|P{F}_1|=2$；$F_1{F}_2=2\sqrt{7}$，余弦定理得 $\cos \angle F_{1}P{F}_2=-\frac{1}{2}$，即 $120^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{2}=1$ 的焦点为 $F_1$，$F_2$，点 $P$ 在椭圆上.若 $|P{F}_1|=4$，则 $|P{F}_2|=$ $\underline{}$；$\angle F_{1}P{F}_2$ 的大小为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $2a=6$，$|P{F}_2|=6-4=2$。
2. $c^2=9-2=7$，$|F_1{F}_2|=2\sqrt{7}$。
3. $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{16+4-28}{2\times 4\times 2}=-\frac{1}{2}$，角为 $120^{\circ }$。

✅【答案】

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$2$；$120^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=6$，故 $|P{F}_2|=6-4=2$。 $c^2=a^2-b^2=7$，$|F_1{F}_2|=2\sqrt{7}$。在 $△F_{1}P{F}_2$ 中由余弦定理 $\cos \angle F_{1}P{F}_2=\frac{4^2+2^2-(2\sqrt{7}{)}^2}{2\times 4\times 2}=\frac{20-28}{16}=-\frac{1}{2},$ 故 $\angle F_{1}P{F}_2=120^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与焦点三角形

核心方法：定义求焦半径 + 余弦定理求角

避坑指南：$c^2=9-2=7$，$|F_1{F}_2|=2\sqrt{7}$；余弦定理分子 $16+4-28=-8$ 为负，角是钝角 $120^{\circ }$，别惯性取锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点三角形是椭圆定义的经典应用。

结论推广：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 直接给出另一条焦半径。

方法推广：焦点三角形内角用余弦定理，三边都要换成焦半径与焦距的表达式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.07 焦点三角形专题
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-20 解-椭圆焦点三角形与面积
• 2011-湖北卷文-21 解-轨迹方程与焦点三角形
• 2012-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点三角形垂直