2008-大纲卷I文-05 单-向量定比分点

本题导读

考查向量线性运算。$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 说明 $D$ 靠近 $C$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}c+\frac{2}{3}b$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 在 $△ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}=c$，$\overrightarrow{AC}=b$. 若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，则 $\overrightarrow{AD}=$()

A. $\frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c$　　　B. $\frac{5}{3}c-\frac{2}{3}b$　　　C. $\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c$　　　D. $\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 说明 $D$ 在 $BC$ 上，且 $BD:DC=2:1$。
2. 定比分点：$\overrightarrow{AD}=\frac{1\cdot \overrightarrow{AB}+2\cdot \overrightarrow{AC}}{1+2}$。
3. 代入 $b$、$c$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$，$D$ 是线段 $BC$ 上分 $BC$ 为 $2:1$ 的点（靠近 $C$）. 由向量的定比分点公式（或直接拆分）： $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=c+\frac{2}{3}(b-c)=\frac{1}{3}c+\frac{2}{3}b,$ 即 $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的定比分点

核心方法：$\overrightarrow{AD}=\frac{1\cdot \overrightarrow{AB}+2\cdot \overrightarrow{AC}}{2+1}=\frac{2}{3}b+\frac{1}{3}c$

避坑指南：$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 即 $BD:DC=2:1$，$D$ 靠近 $C$；定比分点公式 $\overrightarrow{AD}=\frac{\mu \overrightarrow{AB}+\lambda \overrightarrow{AC}}{\lambda +\mu }$（比 $\lambda :\mu$ 对应权重互换）；系数和为 $1$ 是自检点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量基底分解是平面向量的核心运算，2009 湖北文第 1 题、2009 湖南文第 15 题同型。

结论推广：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$；$\overrightarrow{BD}=\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\overrightarrow{BC}$；系数和为 $1$（$D$ 在直线 $BC$ 上）。

方法推广：从 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ 出发逐步拆分到基底 $b,c$；算完检查系数和是否为 $1$，可快速排错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-01 单-向量线性表示
• 2009-湖南卷文-04 单-中点向量和
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-湖南卷文-15 填-向量基底分解