2009-湖南卷文-15 填-向量基底分解

本题导读

考查向量分解。$\overrightarrow{BD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AC}$，故 $x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若 $\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则 $x=$　　　　，$y=$　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $AB=AC=s$：$△ABC$ 中 $\angle A=90^{\circ }$，$\angle ACB=45^{\circ }$，则 $BC=\sqrt{2}s$。
2. 另一块三角板斜边 $ED=BC=\sqrt{2}s$，且 $\angle EBD=90^{\circ }$，$\angle BED=60^{\circ }$，故 $BD=ED\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{2}s$。
3. 以 $A$ 为原点、$AB$，$AC$ 所在直线为坐标轴：$B=(s,0)$，$C=(0,s)$；$BD\perp BC$ 且直线 $BC$ 斜率为 $-1$，故 $BD$ 斜率为 $1$，$D$ 在第一象限。
4. $\overrightarrow{BD}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s,\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AC}$。
5. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，读出 $x$，$y$。

✅【答案】

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$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=AC=s$。由 $△ABC$ 在 $A$ 处为直角且 $\angle ACB=45^{\circ }$，得 $AB=AC=s$，$BC=\sqrt{2}s$。 另一块直角三角板为 $△EBD$，其斜边为 $ED$，且两块三角板斜边相等，所以 $ED=BC=\sqrt{2}s$。 因为 $\angle EBD=90^{\circ }$，$\angle BED=60^{\circ }$，故 $BD=ED\sin 60^{\circ }=\sqrt{2}s\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}s$。 以 $A$ 为原点，取 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ 所在直线为坐标轴，则 $B=(s,0)$，$C=(0,s)$。 由于 $BD\perp BC$，而直线 $BC$ 的斜率为 $-1$，所以直线 $BD$ 的斜率为 $1$。 结合 $D$ 位于第一象限及 $BD=\frac{\sqrt{6}}{2}s$，得 $\overrightarrow{BD}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s,\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AC}$。 因而 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{AC}$， 所以 $x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的基底分解

核心方法：以 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$ 为基，算出 $\overrightarrow{BD}$ 的分量再叠加

避坑指南：$BD$ 斜率为 $1$、长 $\frac{\sqrt{6}}{2}s$，分量 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s,\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)$，$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角板题先把所有边长用同一参数 $s$ 表示，几何量立刻统一。

结论推广：$BD\perp BC$ 与 $BC$ 斜率 $-1$ 联手得 $BD$ 斜率 $1$，方向靠象限定。

方法推广：$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ 两个角分别在两块板上，别在同一个三角形里用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2009-安徽卷文-14 填-向量基底分解
• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角