2008-大纲卷I理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查椭圆的几何定义及其离心率的计算。通过在焦点三角形中应用余弦定理求出未知的边长，进而建立关于椭圆基本量 $a$ 和 $c$ 的齐次方程求解。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 在 $△ABC$ 中，$AB=BC$，$\cos B=-\frac{7}{18}$.若以 $A、B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$，则该椭圆的离心率 $e=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由椭圆焦点为 $A,B$ 可知，焦距 $2c=|AB|$。
2. 动点 $C$ 在椭圆上，根据椭圆定义可知长轴长 $2a=|CA|+|CB|$。
3. 设 $AB=BC=m$，在 $△ABC$ 中利用余弦定理求出 $|CA|$（用 $m$ 表示），从而建立 $a$ 与 $c$ 比例关系，求得离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=BC=m(m>0)$。 因为椭圆以 $A,B$ 为焦点，所以焦距 $2c=|AB|=m\Rightarrow c=\frac{m}{2}$。 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $|CA{|}^2=|AB{|}^2+|BC{|}^2-2|AB||BC|\cos B$ 代入 $AB=BC=m$ 和 $\cos B=-\frac{7}{18}$ 得： $|CA{|}^2=m^2+m^2-2m^2\times \left(-\frac{7}{18}\right)=2m^2+\frac{7}{9}{m}^2=\frac{25}{9}{m}^2$ 因为 $m>0$，所以 $|CA|=\frac{5}{3}m$。 根据椭圆的几何定义，点 $C$ 在椭圆上满足： $2a=|CA|+|CB|=\frac{5}{3}m+m=\frac{8}{3}m\Rightarrow a=\frac{4}{3}m$ 所以椭圆的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{1}{2}m}{\frac{4}{3}m}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$ 故答案为 $\frac{3}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的第一定义（$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$）、解三角形余弦定理的代数应用。
2. 核心方法：齐次设元法。利用参数 $m$ 表示所有线段长，最后比值消元。
3. 避坑指南：找准焦点。本题的焦点是 $A$ 和 $B$，因此焦点三角形是 $△ABC$，不要盲目套用常规以 $F_1,F_2$ 为底边的固有模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中椭圆几何定义与焦点三角形综合求解的压轴小题型。
2. 结论推广：在以 $A,B$ 为焦点的椭圆上有一点 $C$，若 $AB=BC$，则椭圆的离心率与 $\angle B$ 的关系满足 $e=\frac{1}{1+\sqrt{2(1-\cos B)}}$。

🔗【关联脉络】

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• （待补）

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-上海卷理-09 填-椭圆
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形