2008-大纲卷I理-19 解-导数

本题导读

本题考查利用导数讨论三次函数的单调区间，以及根据函数在给定区间上的单调性逆推参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+x+1,a\in \mathbf{R}$.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 设函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 内是减函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：对函数 $f(x)$ 求导，得到二次导函数 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1$。通过判别式 $\Delta =4a^2-12$ 的正负进行分类讨论。当 $\Delta \le 0$ 时，导数恒非负；当 $\Delta >0$ 时，导数有两根，进而确定增减区间。
2. 第(2)问：函数在给定区间内是减函数，等价于导函数 $f^{\prime }(x)\le 0$ 在该区间内恒成立。利用二次函数的图像特征，只需区间端点处的导数值均小于等于 0 即可，联立不等式组求解 $a$ 的范围。

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当 $-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间；当 $a>\sqrt{3}$ 或 $a<-\sqrt{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1$。 导函数的判别式 $\Delta =(2a{)}^2-4\times 3\times 1=4a^2-12=4(a^2-3)$。 ① 当 $\Delta \le 0$，即 $-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$ 时，对于任意 $x\in \mathbf{R}$ 均有 $f^{\prime }(x)\ge 0$。 此时 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 其单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间。 ② 当 $\Delta >0$，即 $a>\sqrt{3}$ 或 $a<-\sqrt{3}$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两个异根： $x_1=\frac{-a-\sqrt{a^2-3}}{3},x_2=\frac{-a+\sqrt{a^2-3}}{3}(x_1<x_2)$ 当 $x\in (-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (x_1,x_2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 综上所述： 当 $-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间； 当 $a>\sqrt{3}$ 或 $a<-\sqrt{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,\frac{-a-\sqrt{a^2-3}}{3}\right]$ 和 $\left[\frac{-a+\sqrt{a^2-3}}{3},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left[\frac{-a-\sqrt{a^2-3}}{3},\frac{-a+\sqrt{a^2-3}}{3}\right]$。

(2) 因为函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 内是减函数， 所以 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1\le 0$ 在 $x\in \left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 上恒成立。 由于二次函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图像开口向上，要使其在给定开区间内恒小于等于 0，只需其在闭区间端点处的值满足： $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(-\frac{2}{3}\right)\le 0\\ f^{\prime }\left(-\frac{1}{3}\right)\le 0\end{array}$ 代入坐标计算得： $\{\begin{array}{l}3\times {\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+2a\times \left(-\frac{2}{3}\right)+1\le 0\\ 3\times {\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+2a\times \left(-\frac{1}{3}\right)+1\le 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{4}{3}-\frac{4}{3}a+1\le 0\\ \frac{1}{3}-\frac{2}{3}a+1\le 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a\ge \frac{7}{4}\\ a\ge 2\end{array}$ 取交集得 $a\ge 2$。 （此时 $a\ge 2\Rightarrow a^2\ge 4>3$，满足 $\Delta >0$，故符合题意）。 所以 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数正负与单调性的对应关系、含参二次方程根的讨论、区间内不等式恒成立转化。
2. 核心方法：端点效应法。开口向上的二次函数在某区间内恒小于等于 0，等价于两端点处的值同时小于等于 0。
3. 避坑指南：第(1)问分类讨论时不要漏掉 $\Delta =0$ 的临界状态；第(2)问容易误用分离参数法导致分母分类讨论过于繁琐，直接利用二次函数边界值更为简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的多项式函数导数应用大题，是教材中利用导数研究单调性习题的直接延伸。
2. 结论推广：对于三次函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$，其在区间 $(m,n)$ 内单调递减的充要条件为 $f^{\prime }(m)\le 0$ 且 $f^{\prime }(n)\le 0$ 且 $\Delta =4a^2-12b>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值