2008-大纲卷II文-12 单-球截面圆心距

本题导读

考查球的截面。公共弦长 $2$ 给出球心到两平面交线的距离 $\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$；两圆心是球心在两垂直平面上的射影，其距离恰等于球心到交线的距离 $\sqrt{3}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 已知球的半径为 $2$，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. 若两圆的公共弦长为 $2$，则两圆的圆心距等于()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两截面圆的公共弦在两平面的交线 $l$ 上，弦长 $2$：$d=\sqrt{R^2-1^2}=\sqrt{3}$ 为球心到 $l$ 的距离。
2. 两圆心分别是球心 $O$ 在两平面上的射影。
3. 以 $l$ 为 $z$ 轴建系，$O=(a,b,0)$，$a^2+b^2=3$；两圆心 $(a,0,0)$、$(0,b,0)$，距离 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设两平面的交线为 $l$，两截面圆的公共点就是 $l$ 与球面的交点，故公共弦在 $l$ 上，弦长为 $2$. 设球半径 $R=2$，球心 $O$ 到 $l$ 的距离为 $d$，则 $2\sqrt{R^2-d^2}=2\Rightarrow d=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.$ 以 $l$ 为 $z$ 轴建立坐标系，两平面分别为 $xOz$ 面（$y=0$）与 $yOz$ 面（$x=0$），设球心 $O=(a,b,0)$，则 $a^2+b^2=d^2=3$. 两截面圆的圆心分别是 $O$ 在两平面上的射影：$C_1=(a,0,0)$，$C_2=(0,b,0)$. 所以圆心距 $|C_1{C}_2|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}.$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面圆与两垂直平面

核心方法：球心到交线距离 $\sqrt{3}$；两圆心距 $=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}$

避坑指南：两截面圆的公共弦在两平面交线上，弦长条件给的是”球心到交线的距离”；两圆心是球心在两平面上的正投影，圆心距的平方恰为 $a^2+b^2=d^2$；建系以交线为轴最清晰。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球截面综合是立体几何压轴小题，2009 大纲Ⅰ文第 15 题、2009 大纲Ⅱ文第 16 题同型。

结论推广：弦长 $2\sqrt{R^2-d^2}$；球心到两垂直平面交线的距离 $d$ 满足圆心距 $=d$。

方法推广：抓住”公共弦 $\subset$ 交线”这一几何事实；建系设 $O=(a,b,0)$ 后一切量都落在 $a^2+b^2$ 上；先算 $d$ 再认出圆心距 $=d$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-15 填-球的截面
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积
• 2009-四川卷文-09 单-球面距离