2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积

本题导读

考查球的截面。截面与 $OA$ 成 $45^{\circ }$ 角，球心距 $d=\frac{R}{2}\sin 45^{\circ }$；由 $\pi r^2=\frac{7\pi }{4}$ 得 $r^2$，勾股解 $R^2=2$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 设 $OA$ 是球 $O$ 的半径，$M$ 是 $OA$ 的中点，过 $M$ 且与 $OA$ 成 $45^{\circ }$ 角的平面截球 $O$ 的表面得到圆 $C$.若圆 $C$ 的面积等于 $\frac{7\pi }{4}$，则球 $O$ 的表面积等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 球心 $O$ 到截面的距离 $d=OM\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{R}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}R}{4}$。
2. 圆 $C$ 半径 $r$：$\pi r^2=\frac{7\pi }{4}\Rightarrow r^2=\frac{7}{4}$。
3. $r^2=R^2-d^2=R^2\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{7R^2}{8}=\frac{7}{4}\Rightarrow R^2=2$。

✅【答案】

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$8\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$。平面与 $OA$ 成 $45^{\circ }$ 角，$M$ 为 $OA$ 中点，故球心 $O$ 到截面的距离 $d=OM\cdot \sin 45^{\circ }=\frac{R}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}R}{4}.$ 由 $\pi r^2=\frac{7\pi }{4}$ 得 $r^2=\frac{7}{4}$。由勾股定理 $r^2=R^2-d^2=R^2-\frac{R^2}{8}=\frac{7R^2}{8},$ 故 $\frac{7R^2}{8}=\frac{7}{4}$，解得 $R^2=2$。 球 $O$ 的表面积为 $4\pi R^2=8\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面性质

核心方法：球心距 $d=OM\sin 45^{\circ }$ + 勾股定理

避坑指南：平面与直线 $OA$ 成 $45^{\circ }$ 角，球心距是 $OM\sin 45^{\circ }$ 而不是 $OM\cos 45^{\circ }$；线面角看 $OM$ 与平面的夹角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的截面是立体几何高频模型。

结论推广：$r^2+d^2=R^2$；$d$ 为球心到截面的距离。

方法推广：线面角问题先找”斜线长 × $\sin$ 角”得到点到面的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积
• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积