2008-大纲卷II文-13 填-向量共线定参

本题导读

考查向量共线。$\lambda a+b=(\lambda +2,2\lambda +3)$，与 $(-4,-7)$ 共线即坐标交叉相等：$-7(\lambda +2)=-4(2\lambda +3)$，解得 $\lambda =2$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 设向量 $a=(1,2)$，$b=(2,3)$. 若向量 $\lambda a+b$ 与向量 $c=(-4,-7)$ 共线，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先算 $\lambda a+b=(\lambda +2,2\lambda +3)$。
2. 共线条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
3. 解方程。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

$\lambda a+b=\lambda (1,2)+(2,3)=(\lambda +2,2\lambda +3)$. 由其与 $c=(-4,-7)$ 共线，得 $(\lambda +2)\times (-7)-(2\lambda +3)\times (-4)=0,$ 即 $-7\lambda -14+8\lambda +12=0\Rightarrow \lambda =2.$ 故答案为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量线性组合与共线

核心方法：$\lambda a+b=(\lambda +2,2\lambda +3)$，共线方程解得 $\lambda =2$

避坑指南：$\lambda a+b$ 的坐标是”数乘加法”逐分量算；共线 $⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$（交叉积为零）；解一次方程即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线定参是平面向量基础题，2009 北京文第 2 题、2009 重庆文第 4 题同型。

结论推广：$a\parallel b⟺a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$；$\lambda a+b$ 坐标逐分量合并。

方法推广：先合并坐标再列共线方程，顺序别反；移项变号要仔细，负系数方程易算错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-02 单-向量共线
• 2009-重庆卷文-04 单-向量平行
• 2009-湖南卷文-16 解-向量共线与模
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参