2009-北京卷文-02 单-向量共线

本题导读

考查共线向量。$\mathbf{c}=(k,1)$，$\mathbf{d}=(1,-1)$，由 $k\cdot (-1)-1\cdot 1=0$ 得 $k=-1$，且 $\mathbf{c}=-\mathbf{d}$ 反向。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(0,1)$，$\mathbf{c}=k\mathbf{a}+\mathbf{b}$（$k\in \mathbf{R}$），$\mathbf{d}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$.如果 $\mathbf{c}\parallel \mathbf{d}$，那么 ()

A. $k=1$ 且 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 同向　　　　　　　　B. $k=1$ 且 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 反向

C. $k=-1$ 且 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 同向　　　　　　　　D. $k=-1$ 且 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 反向

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\mathbf{c}=(k,1)$，$\mathbf{d}=(1,-1)$。
2. 共线条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$：$k\times (-1)-1\times 1=0$，得 $k=-1$。
3. $\mathbf{c}=(-1,1)=-\mathbf{d}$，反向。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{c}=k(1,0)+(0,1)=(k,1)$，$\mathbf{d}=(1,-1)$。 由 $\mathbf{c}\parallel \mathbf{d}$ 得 $k\times (-1)-1\times 1=0$，解得 $k=-1$。 此时 $\mathbf{c}=(-1,1)=-\mathbf{d}$，故 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{d}$ 反向，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线的坐标表示

核心方法：坐标分量交叉相乘为零

避坑指南：共线只给”平行”，方向要另判：$\mathbf{c}=-\mathbf{d}$ 即反向，选 D 而非 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线（平行）是向量模块第一类基础题。

结论推广：$(x_1,y_1)\parallel (x_2,y_2)⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。

方法推广：$k\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 先合成坐标再列条件，用 $\lambda \mathbf{d}=\mathbf{c}$ 亦可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-02 单-向量平行求参
• 2014-陕西卷理-13 填-向量平行的坐标表示
• 2011-重庆卷文-05 单-向量共线与数量积