2008-大纲卷II理-09 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线离心率取值范围的求解。核心在于利用离心率定义式将 $e$ 转化为关于变量 $a$ 的一元分式，进而通过自变量的取值范围进行不等式放缩。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设 $a>1$，则双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{(a+1{)}^2}=1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是 ()

A. $(\sqrt{2},2)$　　　　B. $(\sqrt{2},\sqrt{5})$　　　　C. $(2,5)$　　　　D. $(2,\sqrt{5})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别双曲线方程中的基本量，得到 $a^2=a^2$，$b^2=(a+1{)}^2$。
2. 利用双曲线离心率平方公式 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$ 展开并化简为关于 $\frac{1}{a}$ 的表达式。
3. 由 $a>1$ 确定 $\frac{1}{a}$ 的取值范围，进而通过逐步放缩求得 $e$ 的取值范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程可知，该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其中实半轴长的平方为 $a^2$，虚半轴长的平方为 $(a+1{)}^2$。 根据双曲线中 $e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$，将基本量代入得： $e^2=1+\frac{(a+1{)}^2}{a^2}=1+{\left(1+\frac{1}{a}\right)}^2$ 因为 $a>1$，所以 $0<\frac{1}{a}<1$。 不等式各边同时加 1 得： $1<1+\frac{1}{a}<2$ 由于各项均为正数，平方保持不等号方向不变： $1<{\left(1+\frac{1}{a}\right)}^2<4$ 不等式各边同时加 1 得： $2<1+{\left(1+\frac{1}{a}\right)}^2<5\Rightarrow 2<e^2<5$ 因为双曲线的离心率 $e>1$，开方得： $\sqrt{2}<e<\sqrt{5}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的离心率公式与其标准方程中几何量的代数对应。
2. 核心方法：函数值域放缩法。
3. 避坑指南：计算中要注意各项均为正数时方可直接进行平方或开方放缩；同时需注意选项 D 中 2 与 $\sqrt{2}$ 的细微差别，避免粗心误选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中由双曲线标准方程求基本几何量（长短轴、焦距、离心率）取值范围的变式训练。
2. 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{(a+k{)}^2}=1(a>0,k>0)$，当 $a\to \infty$ 时， $e\to \sqrt{2}$；当 $a\to 0$ 时， $e\to +\infty$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点