2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离

本题导读

考查双曲线。$c^2=a^2+b^2=3$ 且 $\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 得 $a^2=2$、$b^2=1$，方程 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$；（2）$k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$；（3）$k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时平行线距 $d>\sqrt{6}$ 且右支在 $b$ 右下方。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知双曲线 $C$ 的中心是原点，右焦点为 $F(\sqrt{3},0)$，一条渐近线 $m:x+\sqrt{2}y=0$，设过点 $A(-3\sqrt{2},0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\mathbf{e}=(1,k)$.

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)若过原点的直线 $a\parallel l$，且 $a$ 与 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$，求 $k$ 的值；

(3)证明：当 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）渐近线 $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$a^2=2b^2$；$c^2=a^2+b^2=3\Rightarrow b^2=1$，$a^2=2$。
2. （2）$l:kx-y+3\sqrt{2}k=0$，平行线 $a:kx-y=0$，$d=\frac{3\sqrt{2}|k|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{6}\Rightarrow k^2=\frac{1}{2}$。
3. （3）$k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $d=\frac{3\sqrt{2}k}{\sqrt{1+k^2}}>\sqrt{6}$（严格增）；渐近线斜率 $\frac{\sqrt{2}}{2}<k$，右支在平行线 $b$ 的右下方，右支上任一点到 $l$ 的距离大于 $d>\sqrt{6}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{x^2}{2}-y^2=1$；(2)$k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）渐近线 $m:x+\sqrt{2}y=0$，即 $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x$，故 $\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$a^2=2b^2$。 由右焦点 $F(\sqrt{3},0)$ 知 $c=\sqrt{3}$，双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，故 $2b^2+b^2=3$，$b^2=1$，$a^2=2$。 双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$。 （2）直线 $l$ 过 $A(-3\sqrt{2},0)$、方向向量 $(1,k)$，斜率 $k$，方程为 $y=k(x+3\sqrt{2})$，即 $kx-y+3\sqrt{2}k=0$。 过原点且平行于 $l$ 的直线 $a:kx-y=0$。 两平行线距离 $d=\frac{|3\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{6}$，两边平方：$18k^2=6(1+k^2)$，$12k^2=6$，$k^2=\frac{1}{2}$， 所以 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 （3）设过原点且平行于 $l$ 的直线 $b:kx-y=0$，则 $l$ 与 $b$ 的距离 $d=\frac{3\sqrt{2}k}{\sqrt{1+k^2}}$（$k>\frac{\sqrt{2}}{2}>0$）。 函数 $g(k)=\frac{3\sqrt{2}k}{\sqrt{1+k^2}}$ 在 $k>0$ 时单调递增，故 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $d>g\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}=\frac{3}{\sqrt{3}/\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{1}=\sqrt{6}$。 又双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$，当 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，直线 $b$ 比渐近线更陡，双曲线的右支位于直线 $b$ 的右下方， 所以双曲线右支上的任意点到直线 $l$ 的距离大于 $d$，从而大于 $\sqrt{6}$。 故在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的基本量、平行线距离

核心方法：渐近线定比 + 距离方程 + 增量下界

避坑指南：双曲线是 $c^2=a^2+b^2$（不是减）；$k>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $d=\frac{3\sqrt{2}k}{\sqrt{1+k^2}}$ 严格增给出 $d>\sqrt{6}$，再说明右支整体在平行线一侧。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线方程 + 平行线 + 距离下界是三段式压轴结构。

结论推广：$\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$、$c^2=3\Rightarrow a^2=2$、$b^2=1$。

方法推广：几何论证两步走：平行线间距 $d>\sqrt{6}$；右支与 $b$ 的位置（渐近线斜率比较）保证右支点到 $l$ 的距离 $⩾d$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率