2008-大纲卷II理-12 单-圆

本题导读

本题考查球的截面圆几何性质。解题核心在于将空间中相互垂直的截面圆心与球心的相对位置转化为平面矩形，利用勾股定理求得圆心距。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆. 若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于 ()

A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设球心为 $O$，两个垂直的截面圆心分别为 $O_1,O_2$，两圆公共弦为 $AB$，其中点为 $M$。
2. 依据空间垂直关系，判定四边形 $O{O}_{1}M{O}_2$ 是矩形，从而两圆圆心距 $|O_1{O}_2|=|OM|$。
3. 在直角三角形 $OMA$ 中利用勾股定理求出 $OM$ 的长，即得圆心距。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设球心为 $O$，半径 $R=2$。两个相互垂直的平面分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，它们截球面所得的圆心分别为 $O_1,O_2$。 两圆的公共弦为 $AB$，其中点为 $M$，则 $OM\perp AB$，且 $AM=\frac{1}{2}AB=1$。 因为平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，所以 $O_{1}M\perp O_{2}M$。 又 $O{O}_1\perp \alpha$, $O{O}_2\perp \beta$，故四边形 $O{O}_{1}M{O}_2$ 为矩形。 由此可得对角线相等，即两圆圆心距 $|O_1{O}_2|=|OM|$。 在直角 $△OMA$ 中，由勾股定理得： $|OM|=\sqrt{|OA{|}^2-|AM{|}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$ 所以两圆的圆心距 $|O_1{O}_2|=\sqrt{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面性质、轴截面直角三角形关系（$R^2=r^2+d^2$）。
2. 核心方法：空间几何模型向平面矩形及直角三角形的投影转化。
3. 避坑指南：容易误将公共弦长 2 直接当成半径或半弦长，注意必须通过公共弦中点 $M$ 构造与球心的直角三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中球的截面圆性质与空间两平面垂直交线定理的综合应用。
2. 结论推广：半径为 $R$ 的球被两个互相垂直的平面相截，若公共弦长为 $2L$，则两截面圆的圆心距恒为 $\sqrt{R^2-L^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-上海卷理-08 填-球
• 2009-四川卷文-09 单-球面距离