2009-上海卷文-06 填-球表面积比

本题导读

考查球表面积。$S=4\pi R^2$，$\frac{S_1}{S_2}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2=4$，故半径比 $2$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 若球 $O_1$、$O_2$ 表面积之比 $\frac{S_1}{S_2}=4$，则它们的半径之比 $\frac{R_1}{R_2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2=4$。
2. 半径为正，开方得 $\frac{R_1}{R_2}=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由球的表面积公式 $S=4\pi R^2$：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{R_1^2}{R_2^2}=4$。 又 $R_1$，$R_2>0$，故 $\frac{R_1}{R_2}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的表面积

核心方法：表面积比 $=$ 半径平方比

避坑指南：$\frac{R_1}{R_2}=2$ 而不是 $4$：表面积比开平方才得半径比，$4\pi$ 因子两边约掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球的表面积、体积公式的比例关系是送分题。

结论推广：$S\propto R^2$，$V\propto R^3$。

方法推广：看见”表面积之比”先想平方：比值为 $4$ 时半径比 $2$、体积比 $8$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-辽宁卷文-05 单-球纬线长比值
• 2011-新课标卷文-16 填-双圆锥外接球