2008-大纲卷II理-20 解-数列

本题导读

本题考查由含和项 $S_n$ 的递推关系求解通项公式以及数列单调性逆推参数范围问题。第一问通过代换构造出等比数列，第二问则将单调性转化为一元不等式恒成立问题，从而利用最值锁定参数。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $a_1=a,a_{n+1}=S_n+3^n,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 设 $b_n=S_n-3^n$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $a_{n+1}\ge a_n,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：由 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 代入已知递推式，得到 $S_{n+1}=2S_n+3^n$。将 $S_n=b_n+3^n$ 代入化简，构建出 $\{b_n\}$ 的等比递推关系，结合首项写出通项。
2. 第(2)问：利用 $S_n$ 的表达式写出 $a_n$ 的通项公式（注意 $n\ge 2$ 的限制）。将 $a_{n+1}\ge a_n$ 展开，转化为关于 $a$ 的不等式恒成立问题，通过求含 $n$ 代数式的最值确定 $a$ 的范围。

点击查看答案

$a$ 的取值范围是 $[-9,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：因为 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，代入已知条件 $a_{n+1}=S_n+3^n$ 得： $S_{n+1}-S_n=S_n+3^n\Rightarrow S_{n+1}=2S_n+3^n$ 由 $b_n=S_n-3^n$ 可得 $S_n=b_n+3^n$，代入上式化简： $b_{n+1}+3^{n+1}=2(b_n+3^n)+3^n\Rightarrow b_{n+1}+3\cdot 3^n=2b_n+3\cdot 3^n\Rightarrow b_{n+1}=2b_n$ 所以数列 $\{b_n\}$ 是以 2 为公比的等比数列。 其首项为 $b_1=S_1-3^1=a_1-3=a-3$。 故数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为： $b_n=(a-3)\cdot 2^{n-1}$

(2) 解：由(1)知 $S_n=b_n+3^n=(a-3)\cdot 2^{n-1}+3^n$。 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=\left[(a-3)\cdot 2^{n-1}+3^n\right]-\left[(a-3)\cdot 2^{n-2}+3^{n-1}\right]=(a-3)\cdot 2^{n-2}+2\cdot 3^{n-1}$ 对于 $n=1$，已知 $a_2=S_1+3^1=a+3$。 要使 $a_{n+1}\ge a_n$ 对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立，需满足：

1. 当 $n=1$ 时， $a_2\ge a_1\Rightarrow a+3\ge a\Rightarrow 3\ge 0$ 恒成立；
2. 当 $n\ge 2$ 时， $a_{n+1}\ge a_n$ 恒成立，即： $\left[(a-3)\cdot 2^{n-1}+2\cdot 3^n\right]-\left[(a-3)\cdot 2^{n-2}+2\cdot 3^{n-1}\right]\ge 0$ $(a-3)\cdot 2^{n-2}+4\cdot 3^{n-1}\ge 0$ 两边同除以 $2^{n-2}$ 得： $a-3+4\cdot \frac{3^{n-1}}{2^{n-2}}\ge 0\Rightarrow a-3+12\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}\ge 0\Rightarrow a\ge 3-12\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$ 设 $g(n)=3-12\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}(n\ge 2)$。 因为 $\frac{3}{2}>1$，所以 ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$ 随 $n$ 的增大而严格单调递增，故 $g(n)$ 随 $n$ 的增大而单调递减。 所以当 $n=2$ 时， $g(n)$ 取得最大值： $g(n{)}_{\max }=g(2)=3-12\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^0=3-12=-9$ 要使 $a\ge g(n)$ 恒成立，只需 $a\ge g(2)=-9$。 综上所述， $a$ 的取值范围是 $[-9,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由 $S_n$ 与 $a_n$ 递推关系求通项、等比数列的构造、一元不等式恒成立。
2. 核心方法：参变量分离法。将复杂的单调递增约束转化为关于 $n$ 的函数，通过分析函数的单调性求其最值。
3. 避坑指南：在利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 展开通项时，一定要注意该公式仅对 $n\ge 2$ 有效，必须单独验证 $n=1$ 的临界状态是否符合单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于 $S_n$ 与 $a_n$ 的交替方程求法，并结合指数函数单调性进行不等式延展的综合压轴题。
2. 结论推广：若递推式满足 $a_{n+1}=S_n+q^n(q>1)$，则其通项展开后的单调性临界点取决于首项与比值 $q$ 的规模关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-天津卷文-22 解-数列通项与不等式证明
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式