2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式

本题导读

本题考查导数与单调区间，以及含参数的对数方程。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}$，$h(x)=\sqrt{x}$.

(1)设函数 $F(x)=18f(x)-x^2[h(x){]}^2$，求 $F(x)$ 的单调区间与极值；

(2)设 $a\in \mathbf{R}$，解关于 $x$ 的方程 $\lg \left[\frac{3}{2}f(x-1)-\frac{3}{4}\right]=2\lg h(a-x)-2\lg h(4-x)$；

(3)设 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，证明：$f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+\cdots +h(n)]\ge \frac{1}{6}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：（1）$F(x)=12x+9-x^3$ 求导定极值
2. 步骤2：（2）化为 $(x-1)(4-x)=a-x$ 后按 $1<a\le 4$、$4<a<5$、$a=5$ 分类
3. 步骤3：（3）构造 $g(n)$ 证明递增且 $g(1)=\frac{1}{6}$

✅【答案】

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(1) 增区间 $[0,2]$，减区间 $[2,+\infty )$，极大值 $25$，无极小值

(2) 当 $1<a\le 4$ 时 $x=3-\sqrt{5-a}$；当 $4<a<5$ 时 $x=3\pm \sqrt{5-a}$；当 $a=5$ 时 $x=3$；当 $a\le 1$ 或 $a>5$ 时无解

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$F(x)=18\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\right)-x^2\cdot x=12x+9-x^3$（定义域由 $h(x)=\sqrt{x}$ 知 $x\ge 0$）。 $F^{\prime }(x)=12-3x^2=3(2-x)(2+x)$。 在 $[0,2)$ 上 $F^{\prime }(x)>0$，$F$ 单调递增；在 $(2,+\infty )$ 上 $F^{\prime }(x)<0$，$F$ 单调递减。 故增区间 $[0,2]$，减区间 $[2,+\infty )$，极大值 $F(2)=24+9-8=25$，无极小值。 （2）原方程左边：$\frac{3}{2}f(x-1)-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\left[\frac{2}{3}(x-1)+\frac{1}{2}\right]-\frac{3}{4}=(x-1)+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=x-1$， 要求 $x-1>0$ 即 $x>1$。 右边：$2\lg h(a-x)-2\lg h(4-x)=\lg \frac{a-x}{4-x}$，要求 $a-x>0$ 且 $4-x>0$，即 $x<a$ 且 $x<4$。 于是方程等价于 $x-1=\frac{a-x}{4-x}$（$x>1$，$x<a$，$x<4$）， 即 $(x-1)(4-x)=a-x$，展开 $-x^2+5x-4=a-x$，整理得 $x^2-6x+(4+a)=0$，$x=3\pm \sqrt{5-a}$（$a\le 5$）。 逐段检验定义域： 当 $1<a\le 4$ 时，$x=3-\sqrt{5-a}$ 满足 $1<x<3$，且 $x<a$（因 $(3-a{)}^2<5-a⟺a^2-5a+4<0$）与 $x<4$ 均成立；$x=3+\sqrt{5-a}\ge 4$ 不满足 $x<4$，舍。 当 $4<a<5$ 时，$x=3-\sqrt{5-a}$ 与 $x=3+\sqrt{5-a}$ 均满足 $x>1$、$x<a$、$x<4$。 当 $a=5$ 时，$x=3$，满足 $x>1$、$x<5$、$x<4$。 当 $a\le 1$ 或 $a>5$ 时，无满足定义域的解（$a>5$ 时判别式为负；$a\le 1$ 时 $3-\sqrt{5-a}\le 1$ 违反 $x>1$，且另一根更大违反 $x<a$）。 （3）记 $g(n)=f(n)h(n)-\left[h(1)+\cdots +h(n)\right]$。 先证 $g(n)$ 单调递增： $g(n+1)-g(n)=f(n+1)h(n+1)-f(n)h(n)-h(n+1)$ $=\left[\frac{2(n+1)}{3}+\frac{1}{2}-1\right]\sqrt{n+1}-\left[\frac{2n}{3}+\frac{1}{2}\right]\sqrt{n}$ $=\left(\frac{2n}{3}+\frac{1}{6}\right)\sqrt{n+1}-\left(\frac{2n}{3}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{n}$。 比较平方：${\left(\frac{2n}{3}+\frac{1}{6}\right)}^2(n+1)$ 与 ${\left(\frac{2n}{3}+\frac{1}{2}\right)}^{2}n$， 即 $\frac{(4n+1{)}^2(n+1)}{36}$ 与 $\frac{(4n+3{)}^{2}n}{36}$。 $(4n+1{)}^2(n+1)-(4n+3{)}^{2}n=(16n^2+8n+1)(n+1)-(16n^2+24n+9)n=16n^3+24n^2+9n+1-16n^3-24n^2-9n=1>0$。 故 $g(n+1)-g(n)>0$，$g(n)$ 单调递增。 又 $g(1)=f(1)h(1)-h(1)=\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)-1=\frac{7}{6}-1=\frac{1}{6}$。 故对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$g(n)\ge g(1)=\frac{1}{6}$，即 $f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+\cdots +h(n)]\ge \frac{1}{6}$，命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次多项式的导数与极值；对数方程的定义域与分类讨论；「构造数列证递增」处理和式不等式。

核心方法：（1）整理成多项式直接求导；（2）先化简两边再解二次方程，逐段检验定义域；（3）构造差分数列，平方比较判号。

避坑指南：（2）中 $x>1$、$x<a$、$x<4$ 三个定义域条件缺一不可，$a\le 1$ 时 $3-\sqrt{5-a}\le 1$ 这一细节决定「无解」段；$a>5$ 时 $\sqrt{5-a}$ 无意义要先声明；（3）比较平方时两数均为正的前提要交代（$n\ge 1$ 时系数 $\frac{2n}{3}+\frac{1}{6}>0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四川卷压轴的「导数 + 方程 + 数列型不等式」三段式，2012 四川文 22 与本题同为「函数—方程—证明」三联结构。

结论推广：（3）的构造中 $g(n)$ 递增且有首项 $\frac{1}{6}$，故下确界在 $n=1$ 取得；数值上 $g(1)=\frac{1}{6}\approx 0.1667$，$g(2)\approx 0.1785$，$g(3)\approx 0.1839$，逐项增大且增差趋小，与递增证明一致。

方法推广：「和式 vs 函数值」不等式首选构造差：$g(n+1)-g(n)$ 把和式差分解为单项比较；判号用平方法前先确认两数为正，这是书写规范的硬要求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.10 导数常用放缩模型

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-22 解-导数极值点与斜率
• 2012-辽宁卷文-08 单-导数求单调区间
• 2013-江西卷文-02 单-含参方程唯一解