2008-天津卷文-03 单-根式函数反函数

本题导读

考查反函数。反解得 $x=(y-1{)}^2$，原函数值域 $[1,3]$ 即反函数定义域，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 函数 $y=1+\sqrt{x}$（$0⩽x⩽4$）的反函数是()

A. $y=(x-1{)}^2$（$1⩽x⩽3$）　　　　　　　　　　B. $y=(x-1{)}^2$（$0⩽x⩽4$）

C. $y=x^2-1$（$1⩽x⩽3$）　　　　　　　　　　　D. $y=x^2-1$（$0⩽x⩽4$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解：$\sqrt{x}=y-1$，$x=(y-1{)}^2$。
2. 求值域：$x\in [0,4]$ 时 $\sqrt{x}\in [0,2]$，$y=1+\sqrt{x}\in [1,3]$。
3. 反函数定义域为原函数值域 $[1,3]$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=1+\sqrt{x}$（$0⩽x⩽4$）得 $\sqrt{x}=y-1$，即 $x=(y-1{)}^2.$ 当 $x\in [0,4]$ 时，$\sqrt{x}\in [0,2]$，$y=1+\sqrt{x}\in [1,3]$，即原函数的值域为 $[1,3]$. 所以反函数为 $y=(x-1{)}^2(1⩽x⩽3).$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式函数的反函数

核心方法：$x=(y-1{)}^2$，值域 $[1,3]$，$y=(x-1{)}^2$（$1⩽x⩽3$）

避坑指南：反函数三步：反解、换字母、定定义域；根式函数 $y=1+\sqrt{x}$ 单调增，值域 $[1,3]$ 直接由根号范围 $[0,2]$ 平移得到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“值域当定义域”是反函数题第一坑，2009 四川文第 2 题、2011 大纲卷文第 2 题同型。

结论推广：$f^{-1}$ 的定义域 $=f$ 的值域；$\sqrt{x}\in [0,2]\Rightarrow y\in [1,3]$。

方法推广：四个选项定义域各不同时先算值域筛掉一半；再核对解析式 $(x-1{)}^2$ 与 $x^2-1$ 的区别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2011-大纲卷文-02 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数