2013-大纲卷文-06 单-反函数

本题导读

本题考查反函数的求法，以及对数式与指数式的互化。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 函数 $f(x)={\log }_2\left(1+\frac{1}{x}\right)$（$x>0$）的反函数 $f^{-1}(x)=$()

A. $\frac{1}{2^x-1}$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{1}{2^x-1}$（$x\ne 0$）

C. $2^x-1$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　　　　　　D. $2^x-1$（$x>0$）

🔍【思路分析】

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1. $y={\log }_2\left(1+\frac{1}{x}\right)⟺2^y=1+\frac{1}{x}$，故 $x=\frac{1}{2^y-1}$。
2. $x>0\Rightarrow 1+\frac{1}{x}>1\Rightarrow y>0$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=f(x)={\log }_2\left(1+\frac{1}{x}\right)$，$x>0$。化为指数式： $2^y=1+\frac{1}{x},$ 即 $\frac{1}{x}=2^y-1⟹x=\frac{1}{2^y-1}.$ 再定反函数的定义域：由 $x>0$ 得 $0<\frac{1}{x}$，故 $1+\frac{1}{x}>1$，从而 $y={\log }_2\left(1+\frac{1}{x}\right)>{\log }_{2}1=0.$ 即原函数的值域为 $(0,+\infty )$，所以反函数的定义域为 $x>0$。 因此 $f^{-1}(x)=\frac{1}{2^x-1}(x>0),$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法与定义域

核心方法：由 $y={\log }_2\left(1+\frac{1}{x}\right)$ 反解 $x$，再把原函数的值域作为反函数的定义域

避坑指南：反函数的定义域必须由原函数的值域确定：$x>0\Rightarrow 1+\frac{1}{x}>1\Rightarrow y>0$，故选带 $(x>0)$ 的那支——只反解解析式不标定义域是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数（全国卷常考）。

结论推广：求反函数：把 $x$ 用 $y$ 表示后互换字母；反函数的定义域 $=$ 原函数的值域。

方法推广：反函数两步：反解 $x$（化指数形式）→ 由原函数的值域写出反函数的定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2013年大纲版理-5