2008-天津卷文-07 单-椭圆方程与离心率

本题导读

考查椭圆方程与离心率。焦点 $(2,0)$ 在 $x$ 轴、$c=2$，$e=\frac{1}{2}$ 得 $a=4$，$b^2=12$，方程 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$（$m>0$，$n>0$）的右焦点与抛物线 $y^2=8x$ 的焦点相同，离心率为 $\frac{1}{2}$，则此椭圆的方程为()

A. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

C. $\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{64}=1$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $(2,0)$，椭圆右焦点 $(2,0)$：焦点在 $x$ 轴上，$c=2$，$m>a$，$n>b$。
2. $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=2c=4$，即 $m=4$。
3. $b^2=a^2-c^2=16-4=12$，即 $n^2=12$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=8x$ 的焦点为 $(2,0)$，故椭圆的右焦点为 $(2,0)$，焦点在 $x$ 轴上，$c=2$. 由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得 $a=2c=4$，即 $m=4$. 由 $a^2=b^2+c^2$，得 $b^2=a^2-c^2=16-4=12$，即 $n^2=12$. 所以椭圆的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与离心率

核心方法：$c=2$，$e=\frac{1}{2}\Rightarrow a=4$，$b^2=12$，$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

避坑指南：抛物线焦点定 $c$，离心率定 $a$，勾股定 $b^2$；焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴由焦点坐标定，选项 A、C 分母颠倒即陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线之间”焦点接力”是常考套路，2009 浙江文第 6 题、2009 江苏卷第 13 题同型。

结论推广：$y^2=2px$ 焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$；$e=\frac{c}{a}$；$a^2=b^2+c^2$。

方法推广：先由焦点位置定方程形式（分母大小），再算 $a^2$、$b^2$；$m$、$n$ 与 $a$、$b$ 的对应要看清，别把 $12$ 填到 $x^2$ 下。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率
• 2009-湖南卷文-13 填-双曲线离心率
• 2010-新课标卷文-05 单-双曲线离心率