2009-湖南卷文-13 填-双曲线离心率

本题导读

考查双曲线与圆。$\cos 60^{\circ }=\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$，$c=2a$，$e=2$。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(文)） 过双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的一个焦点作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$.若 $\angle AOB=120^{\circ }$（$O$ 是坐标原点），则双曲线 $C$ 的离心率为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 切线性质：$OA\perp FA$，$△OAF$ 为直角三角形。
2. $OA$，$OB$ 关于 $x$ 轴对称且 $\angle AOB=120^{\circ }$，故 $\angle AOF=60^{\circ }$。
3. $\cos 60^{\circ }=\frac{OA}{OF}=\frac{a}{c}$，得 $c=2a$，$e=\frac{c}{a}=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的焦点为 $F$，半焦距为 $c$。由 $FA$ 为圆的切线，得 $OA\perp FA$， 从而 $△OAF$ 是直角三角形。 又 $OA$，$OB$ 关于 $x$ 轴对称，且 $\angle AOB=120^{\circ }$，所以 $\angle AOF=60^{\circ }$。 因此 $\cos 60^{\circ }=\frac{OA}{OF}=\frac{a}{c}$，即 $c=2a$。 双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线与双曲线离心率

核心方法：切线垂直半径 + 对称性定 $\angle AOF=60^{\circ }$，直角三角形里 $\cos 60^{\circ }=\frac{a}{c}$

避坑指南：$OA=a$，$OF=c$，$\frac{1}{2}=\frac{a}{c}\Rightarrow e=2$；几何条件一步翻译成离心率。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：从焦点作圆的切线：切点、圆心、焦点构成直角三角形（半径 $\perp$ 切线）。

结论推广：两条切线关于 $x$ 轴对称，$\angle AOB=120^{\circ }$ 折半得 $\angle AOF=60^{\circ }$。

方法推广：离心率 $e=2$ 属双曲线合理范围（$e>1$），若算出 $e⩽1$ 立即回头查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-大纲卷II文-08 单-双曲线渐近线切圆
• 2009-大纲卷II文-15 填-圆的切线围三角形