2008-天津卷理-05 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的定义与标准方程、椭圆的几何性质与准线。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{m^2-1}=1(m>1)$ 上一点 $P$ 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则 $P$ 点到右准线的距离为 ()

A. 6　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据椭圆方程确定基本量 $a^2=m^2,b^2=m^2-1$，从而求出半焦距 $c=1$。
2. 利用椭圆第一定义 $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 求出 $a$ 的值，进而得到离心率 $e$。
3. 利用椭圆第二定义，点 $P$ 到右焦点的距离与到右准线的距离之比等于离心率 $e$，从而解出目标距离。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程得 $a^2=m^2,b^2=m^2-1$， 则 $c^2=a^2-b^2=m^2-(m^2-1)=1⟹c=1$。 根据椭圆的第一定义： $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=3+1=4⟹a=2$ 所以椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。 设点 $P$ 到右准线的距离为 $d$，根据椭圆的第二定义： $\frac{|P{F}_2|}{d}=e⟹\frac{1}{d}=\frac{1}{2}⟹d=2$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的两个核心定义（轨迹定义与圆锥曲线统一定义）；离心率与准线距离的关系。
2. 核心方法：第二定义转化法（$\frac{r}{d}=e$）。
3. 避坑指南：部分考生容易遗忘第二定义，选择先求出 $m$ 再求 $P$ 点坐标，计算量极大且容易出错；注意区分左准线与右准线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于解析几何中圆锥曲线统一定义的教材经典结论。
2. 结论推广：对任意圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线），曲线上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比恒等于离心率 $e$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-上海卷理-09 填-椭圆
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形