2008-天津卷理-21 解-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_1(-3,0)$，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5}x-2y=0$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程；

(2) 若以 $k(k\ne 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M,N$，线段 $MN$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据焦点位置判定双曲线焦点在 $x$ 轴上，结合焦点坐标得到 $c=3$。利用渐近线斜率 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 以及关系式 $c^2=a^2+b^2$ 联立求出 $a^2,b^2$，从而写出双曲线方程。
2. 第二问：设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$，与双曲线方程联立得到一元二次方程。由交于两不同点列出二次项系数不为零和判别式 $\Delta >0$ 的限制条件。
3. 利用韦达定理求出弦 $MN$ 的中点坐标，进而用 $k,m$ 表示出垂直平分线方程及其在两坐标轴上的截距。
4. 结合三角形面积公式将 $m^2$ 用含 $k$ 的代数式表达，代入 $\Delta >0$ 的约束条件，通过分类讨论法求解 $k$ 的取值范围。

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$k$ 的取值范围是 $\left(-\infty, -\frac{5}{4}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{5

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为双曲线 $C$ 的中心在原点，一个焦点为 $F_1(-3,0)$， 所以双曲线的焦点在 $x$ 轴上，且半焦距 $c=3$，其标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。 又已知一条渐近线方程为 $\sqrt{5}x-2y=0⟹y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$， 根据双曲线几何性质有 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}⟹b^2=\frac{5}{4}{a}^2$。 由 $c^2=a^2+b^2$ 得： $3^2=a^2+\frac{5}{4}{a}^2⟹\frac{9}{4}{a}^2=9⟹a^2=4$ 所以 $b^2=\frac{5}{4}\times 4=5$。 故双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$。

(2) 设以 $k(k\ne 0)$ 为斜率的直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$。 将直线方程与双曲线方程联立： $\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\end{array}⟹5x^2-4(kx+m{)}^2=20$ 整理得： $(5-4k^2)x^2-8kmx-4m^2-20=0$。 因为直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M,N$，设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则： ① $5-4k^2\ne 0⟹k^2\ne \frac{5}{4}$； ② $\Delta =(-8km{)}^2-4(5-4k^2)(-4m^2-20)=80(m^2-4k^2+5)>0⟹m^2>4k^2-5$。

设线段 $MN$ 的中点为 $P(x_0,y_0)$，根据韦达定理： $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{8km}{2(5-4k^2)}=\frac{4km}{5-4k^2}$ $y_0=k{x}_0+m=k\cdot \frac{4km}{5-4k^2}+m=\frac{5m}{5-4k^2}$ 因为 $k\ne 0$，线段 $MN$ 的垂直平分线斜率为 $-\frac{1}{k}$，其方程为： $y-\frac{5m}{5-4k^2}=-\frac{1}{k}\left(x-\frac{4km}{5-4k^2}\right)$ 令 $y=0$，得该垂直平分线在 $x$ 轴上的截距为： $x_{\text{截}}=\frac{9km}{5-4k^2}$； 令 $x=0$，得该垂直平分线在 $y$ 轴上的截距为： $y_{\text{截}}=\frac{9m}{5-4k^2}$。 由于垂直平分线与两坐标轴围成三角形，其面积为： $S=\frac{1}{2}|x_{\text{截}}|\cdot |y_{\text{截}}|=\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{9km}{5-4k^2}\right|\cdot \left|\frac{9m}{5-4k^2}\right|=\frac{81|k|m^2}{2(5-4k^2{)}^2}$ 已知面积为 $\frac{81}{2}$，则： $\frac{81|k|m^2}{2(5-4k^2{)}^2}=\frac{81}{2}⟹m^2=\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}$ 将 $m^2$ 代入条件 ② $m^2>4k^2-5$ 中，得： $\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}>4k^2-5$ 对 $5-4k^2$ 的符号分情况讨论：

• 当 $5-4k^2>0$（即 $0<|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$）时， $4k^2-5<0$。而不等式左端 $\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}>0$ 恒成立，所以 $0<|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$ 均符合题意。
• 当 $5-4k^2<0$（即 $|k|>\frac{\sqrt{5}}{2}$）时，不等式可变形为： $\frac{(4k^2-5{)}^2}{|k|}>4k^2-5$ 因为 $4k^2-5>0$，两边同除以 $4k^2-5$ 得： $\frac{4k^2-5}{|k|}>1⟹4|k{|}^2-|k|-5>0⟹(4|k|-5)(|k|+1)>0$ 由于 $|k|+1>0$，解得 $|k|>\frac{5}{4}$。

综上所述， $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,-\frac{5}{4}\right)\cup \left(-\frac{\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{4},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$；点斜式与截距式方程；弦中点坐标的代数表达；一元二次不等式的高级分类讨论。
2. 核心方法：

• 联立消元配合韦达定理求中点轨迹或相关截距。
• 换元思想与分类讨论思想（针对 $5-4k^2$ 的正负号进行分离）。

3. 避坑指南：

• 第二问计算出中点后求垂直平分线时，容易将斜率错写为 $k$ 或 $-\frac{1}{k}$ 混淆。
• 代入 $\Delta >0$ 后，绝对值不等式 $\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}>4k^2-5$ 是全题最大的思维难点，盲目展开会产生四次不等式，必须根据 $5-4k^2$ 的正负进行针对性约分或判别。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“直线与圆锥曲线位置关系”章节的弦中点问题，进一步外推结合了垂直平分线的解析几何性质，形成了综合性强的压轴题型。
2. 结论推广：对于中心在原点的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，斜率为 $k$ 的弦 $MN$ 中点为 $P(x_0,y_0)$，则满足斜率乘积定值规律 $k\cdot k_{OP}=\frac{b^2}{a^2}$。这一结论常用于简化中点坐标的求解过程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点