2008-安徽卷理-06 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理中特定项系数的奇偶性判断，通过直接计算二项式系数即可求解，属于基础概念与计算题。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 设 $(1+x{)}^8=a_0+a_{1}x+\cdots +a_8{x}^8$，则 $a_0,a_1,\cdots ,a_8$ 中奇数的个数为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

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1. 由二项式定理可知，展开式的系数 $a_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}\right)$（$k=0,1,\cdots ,8$）。
2. 依次计算或利用对称性找出这9个组合数中的奇数个数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(1+x{)}^8$ 展开式的通项为 $T_{k+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}\right)x^k$， 因此 $a_k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}\right)$（$k=0,1,\cdots ,8$）。 具体计算各系数如下： $a_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)=1$（奇数） $a_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)=8$（偶数） $a_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=28$（偶数） $a_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$（偶数） $a_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$（偶数） 根据组合数的对称性 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8-k}\right)$ 可知： $a_5=56,a_6=28,a_7=8$ 均为偶数； $a_8=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8}\right)=1$（奇数）。 所以，奇数只有 $a_0$ 和 $a_8$，共 2 个。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式及组合数的计算。
2. 核心方法：直接计算法与对称性结合。
3. 避坑指南：注意项数共有 9 项（从 $a_0$ 到 $a_8$），不要遗漏首尾两项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于教材中二项式系数的性质，考查基础的运算。
2. 结论推广: 在高等数学背景中，$(1+x{)}^n$ 展开式中奇数系数的个数等于 $2^s$，其中 $s$ 为 $n$ 的二进制表示中 1 的个数（卢卡斯定理推论）。本题 $8=(1000{)}_2$，1的个数为1，所以奇数个数为 $2^1=2$。

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