2008-山东卷文-16 填-线性规划最值

本题导读

顶点 $(0,0),(2,0),(3,5),(0,2)$；$z$ 在 $(3,5)$ 取最大 $11$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+2⩾0,\\ 5x-y-10⩽0,\\ x⩾0,\\ y⩾0,\end{array}$则 $z=2x+y$ 的最大值为　　　.

🔍【思路分析】

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$x-y+2=0$ 与 $5x-y-10=0$ 交于 $(3,5)$；各顶点代入 $z$：$0,4,11,2$，最大值 $11$.

✅【答案】

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$11$

✍【详细解析】

Abstract

可行域由四条直线围成，顶点为 $(0,0)$、$(2,0)$、$(3,5)$、$(0,2)$，其中 $(3,5)$ 是 $x-y+2=0$ 与 $5x-y-10=0$ 的交点. 直线 $5x-y-10=0$ 与 $x$ 轴交于 $(2,0)$，直线 $x-y+2=0$ 与 $y$ 轴交于 $(0,2)$. 将各顶点代入 $z=2x+y$：$z(0,0)=0$，$z(2,0)=4$，$z(3,5)=11$，$z(0,2)=2$，故最大值为 $11$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的顶点法

核心方法：画准可行域，目标函数在顶点处取得最值，逐点代入比较

避坑指南：四个顶点一个都不能少，$(3,5)$ 是两条斜线的交点需联立求解；$z=2x+y$ 的系数别代反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值是必修五固定小题（2009 山东文 16、2010 天津文 2）

结论推广：目标函数可换为 $\frac{y}{x}$、截距型、距离型

方法推广：顶点法是通法；开闭边界与整点约束要单独检查

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2009-浙江卷文-13 填-线性规划最值
• 2010-天津卷文-02 单-线性规划最值
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