2010-安徽卷文-08 单-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(3,0)$、$(6,0)$、$(2,2)$，$z=x+y$ 最大值为 $6$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年安徽卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y-6⩾0,\\ x+2y-6⩽0,\\ y⩾0,\end{array}$ 则目标函数 $z=x+y$ 的最大值是()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2x+y=6$ 与 $y=0$ 交于 $(3,0)$；$x+2y=6$ 与 $y=0$ 交于 $(6,0)$；$2x+y=6$ 与 $x+2y=6$ 交于 $(2,2)$。
2. 可行域为以这三点为顶点的三角形。
3. 逐点代入：$z(3,0)=3$，$z(6,0)=6$，$z(2,2)=4$。
4. 最大值 $6$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

边界直线两两求交： $2x+y=6\text{与}y=0\Rightarrow (3,0);x+2y=6\text{与}y=0\Rightarrow (6,0);2x+y=6\text{与}x+2y=6\Rightarrow (2,2).$ 可行域为以 $(3,0)$，$(6,0)$，$(2,2)$ 为顶点的三角形区域。 $z(3,0)=3,z(6,0)=6,z(2,2)=4,$ 故 $z=x+y$ 的最大值为 $6$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：联立边界直线求可行域顶点，逐点代入目标函数

避坑指南：可行域由 $2x+y-6⩾0$、$x+2y-6⩽0$、$y⩾0$ 围成，先画对三条边界再找顶点；最值必在顶点处取得，但三顶点都要代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：封闭三角形可行域上的线性目标函数在顶点处取得最值。

结论推广：目标函数 $z=x+y$ 的等值线斜率为 $-1$，与边界斜率不同，最值在顶点处唯一取得。

方法推广：求顶点时联立方程组要两两配对，不重不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积
• 2011-安徽卷文-06 单-线性规划最值
• 2012-安徽卷文-08 单-线性规划最值
• 2009-天津卷文-02 单-线性规划