2008-广东卷文-15 填-切割线定理求半径

本题导读

$PC=P{A}^2/PB=4$；$PA\perp AC$，$P{C}^2=P{A}^2+A{C}^2$：$16=4+4R^2$，$R=\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 已知 $PA$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $A$，$PA=2$．$AC$ 是圆 $O$ 的直径，$PC$ 与圆 $O$ 交于点 $B$，$PB=1$，则圆 $O$ 的半径 $R=$　　　.

🔍【思路分析】

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切线长定理给 $P{A}^2=PB\cdot PC$；$PA$ 是切线故 $PA\perp OA$，而 $A$、$O$、$C$ 共线，$△PAC$ 是直角三角形，斜边 $PC$、直角边 $AC=2R$.

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由切割线定理，$P{A}^2=PB\cdot PC$，所以 $PC=\frac{P{A}^2}{PB}=4$．因为 $PA$ 是切线，故$PA\perp OA$；又 $A$，$O$，$C$ 共线，所以 $PA\perp AC$．在直角三角形 $PAC$ 中，$AC=2R$，故 $P{C}^2=P{A}^2+A{C}^2$，即 $16=4+4R^2$，解得 $R=\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切割线定理

核心方法：$P{A}^2=PB\cdot PC$ 定 $PC$，再用 $\mathrm{Rt}△PAC$ 勾股

避坑指南：$PA\perp AC$ 的依据是”切线垂直于过切点的半径”再延到直径 $AC$；$AC=2R$ 别写成 $R$，勾股里是 $4R^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切割线定理与直角三角形勾股的串联，几何证明选讲核心题

结论推广：切线长定理 + 直径所对圆周角：$P{A}^2=PB\cdot PC$ 与 $PA\perp AC$ 联用

方法推广：圆幂定理给出长度关系后，立刻找直角三角形算半径

🔗【关联脉络】

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