2015-广东卷理-15 填-圆的切线

本题导读

本题考查圆的切线性质及相似三角形的应用。通过直径所对圆周角为直角以及切线垂直于半径的性质，构造相似三角形，利用比例关系求解线段长度。

📌【题干】

Question

（2015年广东卷(理)） （选做题：几何证明选讲） (几何证明选讲选做题)如图，已知 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，$AB=4$，$EC$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $C$，$BC=1$.过圆心 $O$ 做 $BC$ 的平行线，分别交 $EC$ 和 $AC$ 于点 $D$ 和点 $P$，则 $OD=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用直径性质：$AB$ 是直径，则 $\angle ACB=90^{\circ }$。在 $Rt△ABC$ 中，已知 $AB$ 和 $BC$，可求出 $AC$。
2. 利用切线性质：连接 $OC$，则 $OC\perp ED$。由于 $OD\parallel BC$，可得 $△ODC$ 与 $△ABC$ 存在角度关联，或者通过证明 $△ODC\sim △ACB$ 的变体来求解。
3. 寻找相似关系：观察图形，$\angle OCD=90^{\circ }$（切线性质）。由于 $OD\parallel BC$，可得 $\angle DOC=\angle OCB$。进一步分析可发现 $△ODC$ 与其他直角三角形的相似性。
4. 计算求解：利用对应边成比例求出 $OD$。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求 $AC$ 的长度： 因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，所以 $\angle ACB=90^{\circ }$。 在 $Rt△ABC$ 中，$AB=4,BC=1$，由勾股定理得： $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$

2. 分析角度关系： 连接 $OC$。因为 $EC$ 是切线，所以 $OC\perp ED$，即 $\angle OCD=90^{\circ }$。 因为 $OD\parallel BC$，所以 $\angle DOC=\angle OCB$（内错角相等）。 又因为 $OB=OC=2$（半径），所以 $△OBC$ 是等腰三角形，得 $\angle OCB=\angle OBC$。 由此可知 $\angle DOC=\angle ABC$。

3. 构造相似三角形： 在 $△ODC$ 中，$\angle OCD=90^{\circ }$。 在 $△ACB$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$。 又因为 $\angle DOC=\angle ABC$， 所以 $Rt△ODC\sim Rt△BCA$。

4. 利用比例求解 $OD$： 根据相似三角形对应边成比例： $\frac{OD}{BA}=\frac{OC}{AC}$ 代入已知数据 $BA=4,OC=2,AC=\sqrt{15}$： $\frac{OD}{4}=\frac{2}{\sqrt{15}}$ $OD=\frac{8}{\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：看到切线必连半径得垂直；看到直径必连圆周角得直角。这两点是圆类几何题的通用辅助线方案。
• 避坑指南：容易误认为 $OD$ 是 $△ABC$ 的中位线，但注意 $D$ 是在切线上而非 $AB$ 上，且 $O$ 是 $AB$ 中点但 $P$ 才是 $AC$ 中点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若本题求 $OP$ 的长度，由于 $O$ 是 $AB$ 中点且 $OP\parallel BC$，则 $OP$ 是 $△ABC$ 的中位线，$OP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$。
• 方法推广:
  • 面积法：也可以通过计算 $△ODC$ 的面积与相关三角形面积的关系来验证。
• 相关知识点:
  • 弦切角定理：虽然本题未直接用到，但切线类题目常考。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理
• 18.09 阿基米德三角形

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-15 填-相似三角形
• 2013年广东卷理-15
• 2011-广东卷理-15