2008-广东卷文-18 解-四棱锥相似与体积

本题导读

$\mathrm{Rt}△ABD$ 中 $AB=R$、$AD=\sqrt{3}R$，相似给 $PD=\sqrt{3}AD=3R$；$S_{△ABC}=\frac{1}{2}R\cdot \sqrt{2}R\sin 105^{\circ }=\frac{\sqrt{3}+1}{4}{R}^2$，$V=\frac{\sqrt{3}+1}{4}{R}^3$.

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(文)） 如图所示，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形，其中 $BD$ 是圆的直径，$\angle ABD=60^{\circ }$，$\angle BDC=45^{\circ }$，$△ADP\backsim △BAD$.

(1)求线段 $PD$ 的长；

(2)若 $PC=\sqrt{11}R$，求三棱锥 $P-ABC$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)直径所对圆周角是直角，解 $\mathrm{Rt}△ABD$ 得两边；相似对应 $A\leftrightarrow B$、$D\leftrightarrow A$、$P\leftrightarrow D$，比值为 $\sqrt{3}$. (2)先在底面里算 $△ABC$ 面积（$\angle ABC=105^{\circ }$）；再用勾股逆定理证 $\angle PDC=90^{\circ }$，叠加 $\angle ADP=90^{\circ }$ 得线面垂直，高即 $PD$.

✅【答案】

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(1)$PD=3R$；(2)$V_{P-ABC}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}{R}^3$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $BD$ 是圆的直径，所以 $\angle BAD=90^{\circ }$．在直角三角形 $ABD$ 中，$BD=2R$，$\angle ABD=60^{\circ }$，从而 $AB=R$，$AD=\sqrt{3}R$．由 $△ADP\backsim △BAD$，对应关系为 $A\leftrightarrow B$，$D\leftrightarrow A$，$P\leftrightarrow D$，故 $\frac{AD}{BA}=\frac{DP}{AD}=\sqrt{3}$，因此 $PD=\sqrt{3}AD=3R$. (2)在直角三角形 $BCD$ 中，$BD=2R$，且 $\angle BDC=45^{\circ }$，所以 $BC=CD=\sqrt{2}R$．由四边形顶点的顺序，$BA$ 与 $BC$ 分居直径 $BD$ 两侧，故 $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=60^{\circ }+45^{\circ }=105^{\circ }$. 于是 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot R\cdot \sqrt{2}R\sin 105^{\circ }=\frac{\sqrt{3}+1}{4}{R}^2$. 又因为 $PC=\sqrt{11}R$，且 $PD=3R$，$DC=\sqrt{2}R$，有 $P{C}^2=P{D}^2+D{C}^2$，所以 $\angle PDC=90^{\circ }$.相似三角形给出 $\angle ADP=\angle BAD=90^{\circ }$，故 $PD$ 同时垂直于底面内相交的直线 $AD$，$DC$，从而 $PD\perp$ 底面 $ABCD$．因此三棱锥 $P-ABC$ 的高为 $3R$，体积为 $V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot 3R=\frac{\sqrt{3}+1}{4}{R}^3$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆内接四边形与线面垂直

核心方法：直径对直角 + 相似定边长，勾股逆定理证 $PD\perp$ 底面

避坑指南：相似对应顺序是 $△ADP\backsim △BAD$：$A\leftrightarrow B$、$D\leftrightarrow A$、$P\leftrightarrow D$，比值 $\sqrt{3}$ 别接错；$\angle ABC=105^{\circ }$ 是两角之和，别只用 $60^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆内接四边形 + 相似 + 线面垂直的综合，立体几何中档题的典型骨架

结论推广：$P{C}^2=P{D}^2+D{C}^2$（勾股逆定理）与 $\angle ADP=90^{\circ }$ 联合推出线面垂直，是”算出来的垂直”

方法推广：锥体体积 = 底面积 × 高 ÷ 3：高不直观时先证线面垂直，底面取最方便计算的三角形

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-18 解-线面垂直
• 2010-广东卷理-18
• 2009-广东卷理-18