2008-广东卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解。通过频率估计概率的方法构建分布列，并利用期望建立不等式求解实际优化问题。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件. 已知生产 1 件一、二、三等品获利分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元，设 1 件产品的利润（单位：万元）为 $\xi$.

(1)求 $\xi$ 的分布列；

(2)求 1 件产品的平均利润（即 $\xi$ 的数学期望）；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%. 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)步：由样本中各等级产品的频数除以总数 200 得到对应的概率，列出分布列。
2. 第(2)步：直接运用离散型随机变量数学期望的定义式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算。
3. 第(3)步：设技术革新后的三等品率为 $x$，则二等品率可表示为 $1-70\%-1\%-x$。列出期望的不等式，结合实际意义（各概率非负）求解 $x$ 的最大值。

✅【答案】

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（1）𝜉的可能取值为6，2，1，−2，相应的概率分别为126200=63100，50

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 根据题意，随机变量 $\xi$ 的可能取值为 6, 2, 1, -2。 对应取值的概率分别为： $P(\xi =6)=\frac{126}{200}=0.63$ $P(\xi =2)=\frac{50}{200}=0.25$ $P(\xi =1)=\frac{20}{200}=0.10$ $P(\xi =-2)=\frac{4}{200}=0.02$

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	6	2	1	-2
$P$	0.63	0.25	0.10	0.02

(2)解： 1 件产品的平均利润即为 $\xi$ 的数学期望： $E(\xi )=6\times 0.63+2\times 0.25+1\times 0.10+(-2)\times 0.02$ $=3.78+0.50+0.10-0.04=4.34\text{（万元）}$

(3)解： 设技术革新后的三等品率为 $x$（$x\ge 0$）。 由于一等品率为 70%，次品率为 1%， 则二等品率为 $1-70\%-1\%-x=29\%-x$。 由概率的非负性可知 $29\%-x\ge 0⟹x\le 29\%$。

设技术革新后 1 件产品的利润为 ${\xi }^{\prime }$，其数学期望为 $E({\xi }^{\prime })$，由题意有： $E({\xi }^{\prime })=6\times 70\%+2\times (29\%-x)+1\times x+(-2)\times 1\%\ge 4.73$ 化简不等式： $4.20+0.58-2x+x-0.02\ge 4.73$ $4.76-x\ge 4.73$ $x\le 0.03=3\%$

由于 $3\%\le 29\%$，符合题意。 所以，三等品率最多是 3%。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的质性约束（各概率之和为 1 且均非负）；数学期望的线性运算法则。
2. 核心方法：构建一元一次不等式模型解决概率决策与最值问题。
3. 避坑指南：第(1)问亏损 2 万元对应的变量值应记为 $-2$，不可误记为正数；第(3)问设未知数后，隐含条件“二等品率 $29\%-x\ge 0$”在某些复杂边界问题中必须检验，避免出现概率为负的实际漏洞。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中离散型随机变量在经济、生产质检中的决策应用模型，考查概率统计解决实际问题的综合能力。
2. 结论推广: 若某类多状态变量的概率分布中包含多项未知参数，通过限定其中若干项的最优边界值，可用线性规划或单变量截割法锁定其余参数的调节区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-四川卷理-01 单-绝对值不等式
• 2009-四川卷理-06 单-不等式