2008-广东卷理-19 解-导数

本题导读

本题考查利用导数讨论分段函数的单调性。解题关键在于对自变量 $x$ 在不同区间内分别求导，并根据参数 $k$ 的取值对导数符号的影响进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 设 $k\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-x},& x<1\\ -\sqrt{x-1},& x\ge 1\end{array}$ ，$F(x)=f(x)-kx,x\in \mathbf{R}$. 试讨论函数 $F(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

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1. 将分段函数 $f(x)$ 代入 $F(x)$，写出分段函数 $F(x)$ 的解析式。
2. 分 $x<1$ 与 $x>1$ 两个区间分别对 $F(x)$ 进行求导。
3. 结合各区间内导函数的结构，分析参数 $k$ 的正负及大小对导数符号改变的影响，进而划分临界点进行分类讨论。

✅【答案】

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当𝑥<1时，𝐹(𝑥)=11−𝑥−𝑘𝑥，所以𝐹′(𝑥)=1

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意得，函数 $F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-x}-kx,& x<1\\ -\sqrt{x-1}-kx,& x\ge 1\end{array}$

(1)当 $x<1$ 时，$F^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}-k$。

(2)当 $x>1$ 时，$F^{\prime }(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-k$。

下面根据参数 $k$ 的取值范围分类讨论 $F(x)$ 的单调性：

1. 当 $k<0$ 时：

• 对于 $x<1$，由于 $\frac{1}{(1-x{)}^2}>0$ 且 $-k>0$，故 $F^{\prime }(x)>0$ 恒成立，此时 $F(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 上单调递增。
• 对于 $x>1$，令 $F^{\prime }(x)=0⟹-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-k=0⟹\sqrt{x-1}=-\frac{1}{2k}$。 两边平方得 $x-1=\frac{1}{4k^2}⟹x=1+\frac{1}{4k^2}$。
• 当 $1<x<1+\frac{1}{4k^2}$ 时，$F^{\prime }(x)<0$，$F(x)$ 单调递减；
• 当 $x>1+\frac{1}{4k^2}$ 时，$F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 单调递增。

2. 当 $k=0$ 时：

• 对于 $x<1$，$F^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}>0$ 恒成立，此时 $F(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 上单调递增。
• 对于 $x>1$，$F^{\prime }(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}<0$ 恒成立，此时 $F(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递减。

3. 当 $k>0$ 时：

• 对于 $x<1$，令 $F^{\prime }(x)=0⟹\frac{1}{(1-x{)}^2}-k=0⟹1-x=\frac{1}{\sqrt{k}}⟹x=1-\frac{1}{\sqrt{k}}$。
• 当 $x<1-\frac{1}{\sqrt{k}}$ 时，$F^{\prime }(x)<0$，$F(x)$ 单调递减；
• 当 $1-\frac{1}{\sqrt{k}}<x<1$ 时，$F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 单调递增。
• 对于 $x>1$，由于 $-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}<0$ 且 $-k<0$，故 $F^{\prime }(x)<0$ 恒成立，此时 $F(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递减。

---

结论归纳：

• 当 $k<0$ 时，$F(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,1)$ 和 $\left[1+\frac{1}{4k^2},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left[1,1+\frac{1}{4k^2}\right]$；
• 当 $k=0$ 时，$F(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,1)$，单调递减区间为 $[1,+\infty )$；
• 当 $k>0$ 时，$F(x)$ 的单调递增区间为 $\left[1-\frac{1}{\sqrt{k}},1\right)$，单调递减区间为 $\left(-\infty ,1-\frac{1}{\sqrt{k}}\right]$ 和 $[1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数符号与函数单调性的关系（导数大于0递增，小于0递减）；分段函数各段独立求导与分析。
2. 核心方法：两步讨论法。第一步按自变量 $x$ 的分段界限隔离讨论；第二步在子区间内对参数 $k$ 的正、零、负临界状态进行深度剥离。
3. 避坑指南：

• 忘写区间开闭：分段函数在断点 $x=1$ 处的左侧极限为 $+\infty$（存在渐近线），因而 $(-\infty ,1)$ 必须保持开区间，而右侧 $x=1$ 可取到值，故可写成闭区间。
• 字母开方：求驻点时，注意由 $k$ 的正负决定是否能开方或保留负号（如 $k<0$ 时 $-\frac{1}{2k}>0$ 才有几何意义）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由基础初等函数（反比例复合函数与根式函数）平移组合而成，通过引入线性项 $-kx$ 转化为标准的导数分类讨论压轴型题型。
2. 结论推广: 设 $f(x)$ 满足在特定分界点两侧的导数取值域分别为 $I_1=(0,+\infty )$ 和 $I_2=(-\infty ,0)$。当叠加线性函数 $-kx$ 后，其导数零点存在性将由 $-k$ 是否落入 $I_1$ 或 $I_2$ 决定，这也是一阶导数分类讨论题目的通用本质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值